曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=-

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 03:36:52

曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=-R所围成

这题,昨天刚刚答了.
这个不能用高斯定理,因为在这个比区域内,含有积分函数的奇点(0,0,0)
所以分开来求即可.
对于z=R和z=-R两个面∑1和∑2,因为dz=0
而且两个面处,z=R处的投影,是朝上的圆面α. z=-R处的投影,是朝下的圆面-α.
所以∫∫∑1+∑2 (xdydz+z^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2)
=∫∫∑1+∑2 (z^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2)
=∫∫α (R^2dxdy)/(x^2+y^2+R^2) +∫∫(-α) (R^2dxdy)/(x^2+y^2+R^2)
=∫∫α (R^2dxdy)/(x^2+y^2+R^2) -∫∫α (R^2dxdy)/(x^2+y^2+R^2)
=0
对于圆柱面∑3,因为在xoy面上的投影面积为0,所以dxdy=0
利用柱面的法向量n=(x,y)
所以第一类曲面积分和第一类曲面积分的关系为
dydz=[x/√(x^2+y^2)]dS=(x/R)dS=(x/R)2πRdz=2πxdz
所以∫∫∑3 (xdydz+z^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2)
=∫∫∑3 (xdydz)/(x^2+y^2+z^2)
=2π∫ (x^2dz)/(x^2+y^2+z^2)
=2π∫ (x^2dz)/(R^2+z^2)
=π∫ (x^2+y^2)dz/(R^2+z^2)
=π∫(-R->R) R^2dz/(R^2+z^2)
=πR∫(-R->R) d(z/R)/[1+(z/R)^2]
=πRarctan(z/R) |(-R->R)
=πR[π/4-(-π/4)]
=(π^2)R/2
综上,原积分=∫∫∫∑1+∑2+∑3
=(π^2)R/2

曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=- 利用高斯公式计算曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2 计算曲面积分I=∫∫ydxdz+(z+1)dxdy 其中Σ是圆柱面 x^2+y^2=R^2被x+z= 高斯公式求曲面积分...求∫∫(xdydz+z^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2), 曲面积分 ∫∫(y^2-x)dydz+(z^2-y)dzdx+(x^2-z)dxdy,∑为Z=1-x^2-y^2位于侧面计算曲面积分∫∫x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy,其中积分区域为,x^2+y^2+z^2=1的外侧. 计算∫∫2xz^2dydz+y(z^2+1)dzdx+(2-z^3)dxdy,其中∑是曲面z=x 用高斯公式计算曲面积分∫∫(zdxdy+xdydz+ydzdx)/(x^2+y^2+z^2) 计算曲面积分∫∫1/(x^2+y^2+z^2)ds,其中S是介于平面z=0及z=H之间的圆柱面x^2+y^2=R^2.( 计算曲面积分 I=∫∫(S+) (x^3)dydz+(z)dzdx+(y)dxdy 其中s+为曲面x^2+y^2=4,与用高斯公式计算曲面积分∮xy^2dydz+yz^2dzdx+zx^2dxdy,其中∑为球面x^2+y^2+z^2=R^2 利用高斯公式计算曲面积分I=∫∫(∑)xdydz+ydzdx+zdxdy ,其中∑为半球面z=√(R^2-x^2-y^2