设f(x)满足 ∫0到x tf(x-t)dt=sinx+kx ,求k和f(x)

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 15:46:52

∫（0到x） tf(x-t)dt=sinx+kx
令r=x-t,则dt=-dr,于是
∫（0到x） tf(x-t)dt
=∫（x到0） (x-r)f(r)(-dr)
=∫（0到x）[ xf(r)-rf(r)]dr
=x∫（0到x）f(r)dr-∫（0到x）rf(r)dr=sinx+kx
两边对x求导,得
∫（0到x）f(r)dr+xf(x)-xf(x)=∫（0到x）f(r)dr=cosx+k
当x=0时,有0=cos0+k=1+k,得k=-1
于是有∫（0到x）f(r)dr=cosx-1
两边再次对x求导,得
f(x)=-sinx
故k=-1,f(x)=-sinx
再问：左边的式子队X求导我看不懂额。可以解释得更详细点吗。？谢了！！！ =x∫（0到x）f(r)dr-∫（0到x）rf(r)dr=sinx+kx 两边对x求导，得 ∫（0到x）f(r)dr+xf(x)-xf(x)=∫（0到x）f(r)dr=cosx+k
再答：变上限积分x∫（0到x）f(r)dr对x求导，显然右边的积分式是关于x的函数，所以可用复合函数求导法：(AB)'=A'B+AB' 也即x∫（0到x）f(r)dr=∫（0到x）f(r)dr+xf(x) 变上限积分∫（0到x）rf(r)dr对x求导自然得xf(x)

设f(x)满足 ∫0到x tf(x-t)dt=sinx+kx ,求k和f(x) 17,设f(x)为可导函数,且满足∫0到x tf(t)dt=f(x)+x^2 求f(x) 设f(x)具有连续导数,且满足f(x)=x+∫(上x下0)tf'(x-t)dt求lim(x->-∞)f(x) 设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,求f(x) 设f(X)连续且满足 f(x)=e^x+sinx- ∫ x 0 (x-t)f(t)dt,并求该函数f(x) ∫ 0到x tf(x-t)dt=∫ 0到x (x-t)f(t)dt 为什么? 设连续函数f(x)满足f(x)=e^x-∫(0,x)f(t)dt,求f(x) 设f（x）=sinx-∫(0~t)(x-t)f(t)dt,f为连续函数,求f(x). 8、设f(x)为可导函数,且满足∫0到x f(t)t^2 dt=f(x)+3x 求f(x) 设连续函数f(x)由方程∫（上限x.下限0)tf(t)dt=x^2+f(x)确定,求f(x) 设连续函数f(x)由方程∫（上限x.下限0)tf(t)dt=x^2+f(x)确定,求f(x) 请写出答案. 设f(t)=∫e^(-x^2)dx,求∫tf(t)dt=?