作业帮分式递推数列 特征方程法
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/10 14:23:52
分式递推数列 特征方程法
斐波纳契数列：1、1、2、3、5、8、13、、、、
A1=1,An=A(n-1)+A(n-2)（n>=2,n∈N*）
特征方程为： X^2=X+1 解得X1=(1+√5)/2,X2=(1-√5)/2
设 αAn-1)=β（An-1)-αAn-2））
可得 α+β=1. αβ=-1.
可知,α、 β为方程 X^2=X+1 的两根,
所以有 α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2 ,或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2
所以
An-(1-√5)/2*A(n-1)=(1+√5)/2*(A(n-1)-(1-√5)/2*A(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(A2-(1-√5)/2*A1)`````````1.
An-(1+√5)/2*A(n-1)=(1-√5)/2*(A(n-1)-(1+√5)/2*A(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(A2-(1+√5)/2*A1)`````````2.
由式1,式2,可得.
An=[(1+√5)/2]^(n-2)*(A2-(1-√5)/2*A1)``````````````3.
An=[(1-√5)/2]^(n-2)*(A2-(1+√5)/2*A1)``````````````4.
将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,
化简得An=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
再问： 这个 是二阶线性递推数列吧
再答： 是的，，但我记得高中时做到过
A1=1,An=A(n-1)+A(n-2)（n>=2,n∈N*）
特征方程为： X^2=X+1 解得X1=(1+√5)/2,X2=(1-√5)/2
设 αAn-1)=β（An-1)-αAn-2））
可得 α+β=1. αβ=-1.
可知,α、 β为方程 X^2=X+1 的两根,
所以有 α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2 ,或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2
所以
An-(1-√5)/2*A(n-1)=(1+√5)/2*(A(n-1)-(1-√5)/2*A(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(A2-(1-√5)/2*A1)`````````1.
An-(1+√5)/2*A(n-1)=(1-√5)/2*(A(n-1)-(1+√5)/2*A(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(A2-(1+√5)/2*A1)`````````2.
由式1,式2,可得.
An=[(1+√5)/2]^(n-2)*(A2-(1-√5)/2*A1)``````````````3.
An=[(1-√5)/2]^(n-2)*(A2-(1+√5)/2*A1)``````````````4.
将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,
化简得An=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
再问： 这个 是二阶线性递推数列吧
再答： 是的，，但我记得高中时做到过