作业帮两整系数三次多项式有一个公共的无理根 则这两个多项式还有一个公共根 怎么证明? 谢谢
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/19 12:14:51
两整系数三次多项式有一个公共的无理根 则这两个多项式还有一个公共根 怎么证明? 谢谢
首先这里的公共根要包含虚根, 否则有反例, 如f(x) = g(x) = x³-2.
设f(x)与g(x)是两个有理系数多项式, 并有公共的无理根α.
考虑f(x)与g(x)的最大公因式, 设为d(x), 不妨设d(x)首项系数为1.
有一个定理说: 存在有理系数多项式u(x)与v(x), 使u(x)f(x)+v(x)g(x) = d(x).
于是由α是f(x)与g(x)的公共根, 可知α也是d(x)的根.
若d(x)只有α一个根(不计重数), 则d(x) = (x-α)^k, k ≥ 1 (已设d(x)首1).
由d(x)为有理系数多项式, 其k-1次项系数-kα为有理数, 于是得到α为有理数, 矛盾.
故d(x)有α以外的根, 即存在β ≠ α, 使d(β) = 0.
而d(x)是f(x)与g(x)的公因式, 因此d(x)的根同时是f(x)与g(x)的根.
所以β也是f(x)与g(x)的公共根, 即f(x)与g(x)有α以外的公共根, 证毕.
可以看到三次的条件是可以去掉的, 而整系数条件可减弱为有理系数.
有疑问请追问.
设f(x)与g(x)是两个有理系数多项式, 并有公共的无理根α.
考虑f(x)与g(x)的最大公因式, 设为d(x), 不妨设d(x)首项系数为1.
有一个定理说: 存在有理系数多项式u(x)与v(x), 使u(x)f(x)+v(x)g(x) = d(x).
于是由α是f(x)与g(x)的公共根, 可知α也是d(x)的根.
若d(x)只有α一个根(不计重数), 则d(x) = (x-α)^k, k ≥ 1 (已设d(x)首1).
由d(x)为有理系数多项式, 其k-1次项系数-kα为有理数, 于是得到α为有理数, 矛盾.
故d(x)有α以外的根, 即存在β ≠ α, 使d(β) = 0.
而d(x)是f(x)与g(x)的公因式, 因此d(x)的根同时是f(x)与g(x)的根.
所以β也是f(x)与g(x)的公共根, 即f(x)与g(x)有α以外的公共根, 证毕.
可以看到三次的条件是可以去掉的, 而整系数条件可减弱为有理系数.
有疑问请追问.
两整系数三次多项式有一个公共的无理根 则这两个多项式还有一个公共根 怎么证明? 谢谢
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