两个矩阵相乘之后的新矩阵为什么小于等于这两个矩阵的最小值?即R(AB)
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 19:47:58
两个矩阵相乘之后的新矩阵为什么小于等于这两个矩阵的最小值?即R(AB)
有很多方法说明这个问题,这里告诉你其中一个
先知道三个事实
第一 初等变换不改变矩阵的秩
第二 初等行(列)变换,相当于左(右)乘一个可逆阵.
第三 一个秩为r,可以只通过行(列)变换变成主对角线上只有r个1,其它全是0的方阵(这里对角线不一定是把1排完了再来排0,有可能是 1,1,0,0,1的样子)
对于AB,我们对A进行行变换,使他对角线是只有1和0的阵C,即 C=QA,Q可逆
所以 A=Q逆C
同样,对B只做列变换,我们找一个可逆的P,和对角线上只有1和0的D,使
B=DP逆
那么AB = Q逆(CD)P逆
注意中间的CD相乘后,还是主对角线为1和0的阵,且1的个数在相乘后只会少,不会多.
所以相乘后的秩是减少的.
先知道三个事实
第一 初等变换不改变矩阵的秩
第二 初等行(列)变换,相当于左(右)乘一个可逆阵.
第三 一个秩为r,可以只通过行(列)变换变成主对角线上只有r个1,其它全是0的方阵(这里对角线不一定是把1排完了再来排0,有可能是 1,1,0,0,1的样子)
对于AB,我们对A进行行变换,使他对角线是只有1和0的阵C,即 C=QA,Q可逆
所以 A=Q逆C
同样,对B只做列变换,我们找一个可逆的P,和对角线上只有1和0的D,使
B=DP逆
那么AB = Q逆(CD)P逆
注意中间的CD相乘后,还是主对角线为1和0的阵,且1的个数在相乘后只会少,不会多.
所以相乘后的秩是减少的.
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