作业帮寻秦九韶算法课题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 05:12:45
寻秦九韶算法课题
秦九韶算法
1．教学任务分析
(1)在学习中国古代数学中的算法案例的同(2)时,进一步体会算法的特点.(3)体会中国古代数学对世界数学发展的贡献.
2． 重点与难点重点：理解秦九韶算法的思想.难点：用循环结构表示算法步骤.
3．教学情境设计 (1) 设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法,并写出程序.
学生提出一般的解决方案,如：
x=5 f=2 * x^5 – 5 * x^4 – 4 * x^3 + 3 * x^2 – 6 * x + 7
PRINT“f=”；fEND
教师点评：上述算法一共做了解15次乘法运算,5次加法运算,优点是简单,易懂.缺点是不通用,不能解决任意多项式的求值问题,而且计算效率不高.
（2）有没有更高效的算法?
师：计算x的幂时,可以利用前面的计算结果,以减少计算量,即先计算x2,然后依次计算x2.x,（x2.x）.x, (（x2.x）.x).x的值,这样计算上述多项式的值,一共需要多少次乘法,多少次加法?
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能提高运算效率,而且对于计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法更快地得到结果.
(3)能否探索更好的算法,解决任意多项式的求值问题?
教师引导学生把多项式变形为：f(x)= 2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7
=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
并提问：从内到外,如果把每一个括号都看成一个常数,那么变形后的式子中有哪些“一次式”?x的系数依次是什么?
（4）若将x的值代入变形后的式子中,那么求值的计算过程是怎样的?
师：计算的过程可以列表表示为：
多项式x系数
2
-5
-4
3
-6
7
运算
10
25
105
540
2670
+
变形后x的"系数"
2
5
21
108
534
2677
*5
最后的系数2677即为所求的值,让学生描述上述计算过程
师：指出这种算法就是“秦九韶算法”,同时介绍秦九韶的生平.
(5)用秦九韶算法求多项式的值,与多项式的组成有直接关系吗?用秦九韶算法计算上述多项式的值,需要多少次乘法运算和多少次加法运算?教师引导学生发现在求值的过程中,计算只与多项式的系数有关,让学生统计所进行的乘法和加法运算的次数.(6) 秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题吗?
师:怎样用秦九韶算法求一般多项式f(x)= anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0当x=x0时的值?
教师引导学生思考,把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题,即求v1=anx+an-1
v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 …….. vn=vn-1x+a0
的值的过程,共做了多少次乘法运算,多少次加法运算?
(7)怎样用程序框图表示秦九韶算法
观察秦九韶算法的数学模型,计算vk时要用到vk-1的值,若令v0=an,我们可以得到下面的递推公式：
v0=an vk=vk-1+an-k(k=1,2,…n)
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,可以用循环结构来实现.
（8）小结：通过对秦九韶算法的学习,你对算法本身有哪些进一步的认识?
教师引导学生思考、讨论、概括,小结时要关注如下几点：（1）算法具有通用的特点,可以解决一类问题；（2）解决同一类问题,可以有不同的算法,但计算的效率是不同的,应该选择高效的算法；（3）算法的种类虽多,但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法；等等.
（9）课后作业：习题1.3A组第2题.
1．教学任务分析
(1)在学习中国古代数学中的算法案例的同(2)时,进一步体会算法的特点.(3)体会中国古代数学对世界数学发展的贡献.
2． 重点与难点重点：理解秦九韶算法的思想.难点：用循环结构表示算法步骤.
3．教学情境设计 (1) 设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法,并写出程序.
学生提出一般的解决方案,如：
x=5 f=2 * x^5 – 5 * x^4 – 4 * x^3 + 3 * x^2 – 6 * x + 7
PRINT“f=”；fEND
教师点评：上述算法一共做了解15次乘法运算,5次加法运算,优点是简单,易懂.缺点是不通用,不能解决任意多项式的求值问题,而且计算效率不高.
（2）有没有更高效的算法?
师：计算x的幂时,可以利用前面的计算结果,以减少计算量,即先计算x2,然后依次计算x2.x,（x2.x）.x, (（x2.x）.x).x的值,这样计算上述多项式的值,一共需要多少次乘法,多少次加法?
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能提高运算效率,而且对于计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法更快地得到结果.
(3)能否探索更好的算法,解决任意多项式的求值问题?
教师引导学生把多项式变形为：f(x)= 2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7
=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
并提问：从内到外,如果把每一个括号都看成一个常数,那么变形后的式子中有哪些“一次式”?x的系数依次是什么?
（4）若将x的值代入变形后的式子中,那么求值的计算过程是怎样的?
师：计算的过程可以列表表示为：
多项式x系数
2
-5
-4
3
-6
7
运算
10
25
105
540
2670
+
变形后x的"系数"
2
5
21
108
534
2677
*5
最后的系数2677即为所求的值,让学生描述上述计算过程
师：指出这种算法就是“秦九韶算法”,同时介绍秦九韶的生平.
(5)用秦九韶算法求多项式的值,与多项式的组成有直接关系吗?用秦九韶算法计算上述多项式的值,需要多少次乘法运算和多少次加法运算?教师引导学生发现在求值的过程中,计算只与多项式的系数有关,让学生统计所进行的乘法和加法运算的次数.(6) 秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题吗?
师:怎样用秦九韶算法求一般多项式f(x)= anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0当x=x0时的值?
教师引导学生思考,把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题,即求v1=anx+an-1
v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 …….. vn=vn-1x+a0
的值的过程,共做了多少次乘法运算,多少次加法运算?
(7)怎样用程序框图表示秦九韶算法
观察秦九韶算法的数学模型,计算vk时要用到vk-1的值,若令v0=an,我们可以得到下面的递推公式：
v0=an vk=vk-1+an-k(k=1,2,…n)
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,可以用循环结构来实现.
（8）小结：通过对秦九韶算法的学习,你对算法本身有哪些进一步的认识?
教师引导学生思考、讨论、概括,小结时要关注如下几点：（1）算法具有通用的特点,可以解决一类问题；（2）解决同一类问题,可以有不同的算法,但计算的效率是不同的,应该选择高效的算法；（3）算法的种类虽多,但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法；等等.
（9）课后作业：习题1.3A组第2题.