求y'+2y+x=0的通解

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 15:55:41

求y'+2y+x=0的通解

对应的齐次方程为
y'+2y=0
解得
y*=C(1)[e^(-2x)]
然后用常数变易法求原方程的解,
设原方程的解为 y=C(x)[e^(-2x)]
则 y'=C'(x)[e^(-2x)]+C(x)(-2)[e^(-2x)]
代入原方程,则
C'(x)[e^(-2x)]+C(x)(-2)[e^(-2x)]+2C(x)[e^(-2x)]+x=0
所以
C'(x)=-x[e^(2x)]
解上式得
C(x)=-(1/4)[(2x)e^(2x)-e^(2x)+C']
所以,原方程的解为
y=C(x)[e^(-2x)]
=-(1/4)[2x-1+C'e^(-2x)]
=-(x/2)+1/4+C[e^(-2x)],其中C=-C'/4为任意常数.

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