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1)用二项式定理证明 （n+1)^n -1 能被n^2整除

来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 20:28:36
1)用二项式定理证明 （n+1)^n -1 能被n^2整除
2）求（X+ 1/X -1)^5展开式的常数项
1.当n=1或2时,明显成立.
当n≥3时,证明如下.
（n+1）＾n-1
=C(n,0)n^n+C(n,1)n^(n-1)+……+C(n,n-2)n^2+C(n,n-1)+C(n,n)-1
=C(n,0)n^n+C(n,1)n^(n-1)+……+C(n,n-2)n^2+C(n,n-1)n
对3以上的数除去最后一项都很容易看出是n^2的整数倍,
而最后一项变形后就是C(n,1)n,即n^2,即得证.
2.那个5是指数么,看成整体来做先展开C（组合数）（5,0）(x+1/x)^5+C（5,1）(x+1/x)^4(-1)^1+C（5,2）(x+1/x)^3(-1)^2+C（5,3）(x+1/x)^2(-1)^3+C（5,4）(x+1/x)^1(-1)^4+C（5,5）(-1)^5
出现常数项就是要x和1/x的指数相等
有可能出现常数的项有C（5,1）(x+1/x)^4(-1)^1、C（5,3）(x+1/x)^2(-1)^3、C（5,5）(-1)^5它们常数项依次为-C（5,1）C（4,2）、-C（5,3）C（2,1）、-C（5,5）相加可以得到 -（5*6+10*2+1）=-51
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