证明(1+2+.+n)*(1+1/2+.+1/n)>=n2+n+1

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 17:23:55

用向量或者柯西不等式证明
向量A=(√1,√2,√3,...,√n)
向量B=(√1,1/√2,1/√3,...,1/√n)
那么|A|=√(1+2+...+n)
|B|=√(1+1/2+...+1/n)
A•B=1+1+...+1=n
空间n维向量中恒有|A||B|≥A•B
也就是
√[(1+2+.+n)*(1+1/2+.+1/n)]≥n
平方后就是
(1+2+.+n)*(1+1/2+.+1/n)≥n²
只能得到这个结论
你的不等式不成立的
n=1的时候就不成立
n=2的时候时候也不成立..
再问：（对于大于2的一切正整数N，该等式都成立）要用归纳法证明
再答：数学归纳法设f(n)=(1+2+....+n)*(1+1/2+....+1/n) 令n=k时 (1+2+....+k)*(1+1/2+....+1/k)≥k²+k+1 这里记g(k)=k²+k+1 那么g(k+1)=k²+3k+3 n=k+1的时候 (1+2+....+(k+1))*(1+1/2+....+1/(k+1)) =(1+2+....+k)*(1+1/2+....+1/k)+(k+1)*(1+1/2+....+1/k)+(1+2+....+k)(1/(k+1))+1 ≥k²+k+1+(k+1)*(1+1/2+....+1/k)+(1+2+....+k)(1/(k+1))+1① 其中 (1+2+....+k)(1/(k+1))=k/2② 对于(k+1)*(1+1/2+....+1/k) 1+1/2+1/3=11/6 那么在k≥3的时候上面的≥(k+1)11/6③ 再将②③代入① 原式≥k²+k+1+(k+1)11/6+k/2+1=k²+20k/6+23/6>k²+3k+3=f(k+1) 于是我们得到，在k≥3的时候假如f(k)≥g(k) 必有f(k+1)≥g(k+1) 现在只要晓得什么时候开始f(k)≥g(k) 那么对于大于k的任意n肯定不等式都成立的我算了一下，应该是n≥5的时候 n=1，2，3，4的时候不等式都不成立的！

请问如何证明lim(n→∞)[n/(n2+n)+n/(n2+2n)+…+n/(n2+nn)]=1, 怎样证明n2+n,n+1/2,n2+n+1/2是直角三角形证明:(1+1/n-1/n+1)2=1+1/n2+1/(n+1)2 对（1+2+...+n)(1+1/2+...+1/n)>=n2+n-1的证明证明(1+2+.+n)*(1+1/2+.+1/n)>=n2+n+1 证明：12+22+32+……+n2=1/6n(n+1)(2n+1) 证明不等式：(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+.+(n/n)^n 求极限lim((n+1)/(n2+1)+(n+2)/(n2+2)+...+(n+n)/(n2+n)),n趋近无穷大一求极限lim(n/(n2+1)+n/(n2+2^2)+……+n/(n2+n2)) 证明1/n+1/(n+1)+1/(n+2) +……+1/n2>1 1.求lim[1/(n2+n+1)+2/(n2+n+2)+.+n/(n2+n+n)][n趋于无穷][n2为n的平方] 高数证明2^n>=1+n2^[(n-1)/2]