已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠D

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 09:56:56

已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．

试解答下列问题：
（1）在图1中，若∠A+∠D=80°，则∠B+∠C=______；仔细观察，在图2中“8字形”的个数：______个；
（2）在图2中，若∠DAO=50°，∠OCB=40°，∠P=35°，试求∠D的度数；
（3）在图2中，若设∠D=x°，∠B=y°，其它条件不变，试求∠P的度数．

（1）根据三角形的内角和定理，∠AOD=180°-（∠A+∠D）=180°-80°=100°，
∠BOC=180°-（∠B+∠C），
∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等），
∴∠B+∠C=180°-100°=80°，
如图2，以点O为顶点的“8字形”有△AOD和△BOC，△AOM和△CON，△AOD和△CON，△AOM和△BOC，
以点M为顶点的“8字形”有△ADM和△CMP，
以点N为顶点的“8字形”有△ANP和△BCN，
共有4+1+1=6个；
（2）∵AP、CP分别是∠DAO、∠BCO的平分线，
∴∠1=
1
2∠DAO=
1
2×50°=25°，
∠2=
1
2∠OCB=
1
2×40°=20°，
又∵∠AMO=∠1+∠D=∠3+∠P，
∴∠D=∠3+∠P-∠1=20°+35°-25°=30°；
（3）由（2）得，∠AMO=∠1+∠D=∠3+∠P①，
又∠ONC=∠4+∠B=∠2+∠P②，
由①、②得，∠1-∠3=∠P-∠D，
∠2-∠4=∠B-∠P，
由已知得，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1-∠3=∠2-∠4，
∴∠P-∠D=∠B-∠P，
∴∠P=
1
2（∠B+∠D）=
1
2（x°+y°）．