为什么 e^(ix) = cosx + isinx
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/14 04:36:46
为什么 e^(ix) = cosx + isinx
要证明这个结论,需要一定的知识基础
1)泰勒级数
2)求导运算
希望已经具备.
首先给出泰勒展开公式.
一个可导函f(x)可以在 x0 点处进行展开.
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2 + f'''(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f(n)(x0)/n!* (x-x0)^n
按照这个可以对 cosx 和 sinx 在 x=0 处进行展开
f(x)=cosx
=cos0 - sin0 * x -cos0 * x^2/2!+ sin0 * x^3/3!+ cos0 * x^4/4!……
= 1 - x^2/2!+ x^4/4!- x^6/6!+ ……
f(x)=sinx
=sin0 + cos0 * x -sin0 * x^2/2!- cos0 * x^3/3!+ sin0 * x^4/4!+ ……
= x - x^3/3!+ x^5/5!- x^7/7!+ ……
同样,也可以对 f(x) = e^x 进行 x=0 处的泰勒展开.
f(x) = e^x
=e^0 + e^0 * x + e^0 * x^2/2!+ e^0 * x^3/3!+ …… + e^0 * x^n/n!
=1 + x + x^2/2!+ x^3/3!+ …… + x^n/n!
用 ix 替换上面的x,得到 e^(ix)的多极泰勒展开.
f(x) = e^(ix)
=1 + ix - x^2/2!-ix^3/3!+ x^4/4!+ ix^5/5!- x^6/6!
=(1 - x^2/2!+ x^4/4!- x^6/6!+ ……) + i (x - x^3/3!+ x^5/5!- x^7/7!+ ……)
可以看到 第一个括弧中的表达式恰好与 cosx 的展开式相同,第二个括弧中的展开式与 sinx 的展开式相同.
因此
e^(ix) = cosx + isinx
1)泰勒级数
2)求导运算
希望已经具备.
首先给出泰勒展开公式.
一个可导函f(x)可以在 x0 点处进行展开.
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2 + f'''(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f(n)(x0)/n!* (x-x0)^n
按照这个可以对 cosx 和 sinx 在 x=0 处进行展开
f(x)=cosx
=cos0 - sin0 * x -cos0 * x^2/2!+ sin0 * x^3/3!+ cos0 * x^4/4!……
= 1 - x^2/2!+ x^4/4!- x^6/6!+ ……
f(x)=sinx
=sin0 + cos0 * x -sin0 * x^2/2!- cos0 * x^3/3!+ sin0 * x^4/4!+ ……
= x - x^3/3!+ x^5/5!- x^7/7!+ ……
同样,也可以对 f(x) = e^x 进行 x=0 处的泰勒展开.
f(x) = e^x
=e^0 + e^0 * x + e^0 * x^2/2!+ e^0 * x^3/3!+ …… + e^0 * x^n/n!
=1 + x + x^2/2!+ x^3/3!+ …… + x^n/n!
用 ix 替换上面的x,得到 e^(ix)的多极泰勒展开.
f(x) = e^(ix)
=1 + ix - x^2/2!-ix^3/3!+ x^4/4!+ ix^5/5!- x^6/6!
=(1 - x^2/2!+ x^4/4!- x^6/6!+ ……) + i (x - x^3/3!+ x^5/5!- x^7/7!+ ……)
可以看到 第一个括弧中的表达式恰好与 cosx 的展开式相同,第二个括弧中的展开式与 sinx 的展开式相同.
因此
e^(ix) = cosx + isinx
为什么 e^(ix) = cosx + isinx
欧拉公式cosx+isinx=e^ix推倒出sinx=(e^ix-e^ix)/2i及cox=(e^ix+e^ix)/2的
欧拉公式e^ix=cosx+isinx是怎么推出来的?
欧拉公式的推导过程e^ix=cosx+isinx 该欧拉公式
怎么在mathematica中用欧拉公式(e^±ix=cosx±isinx )对结果进行变换?例如变换 E^(-ix)+
导数证欧拉复变函数公式 请问函数f(x)=(cosx+isinx)/(e的ix次幂)如何求导数?如何
复数z=1+cosx+isinx(π
复数z=1-cosx+isinx(2π
复数的三角形式中z=r(cosx+isinx)中r表示什么?
把复数(cosx-isinx)^3/(cos2x+isin2x)^2
老师,您回答“计算:(1-√3i)(cosx+isinx)÷(1-i)(cosx-isinx),也是一个复数的问题.求解
求导 y=(2+cosx)^sinx=e^(sinx*ln(2+cosx)) 这部是怎么来的?为什么出来个e?