求教两道数分题1.用N(k)表示不超过2^N的所有的自然数中以K为首位的数字的个数,求证lim(N->+∞)N(7)/N

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 03:29:48

求教两道数分题
1.用N(k)表示不超过2^N的所有的自然数中以K为首位的数字的个数,
求证lim(N->+∞)N(7)/N(8)存在.
2.设数列{x(n)}满足,对于任意n,m属于N有0≤x(n+m)

第一题的极限应该是不存在的.
（以下“数”指自然数）
当2^N的首位不为7也不为8时,显然有N(7)=N(8),此时N(7)/N(8)=1.在N足够大时,N>N',也会存在N,使得2^N的首位不为7也不为8.所以,如果lim(N->+∞)N(7)/N(8)存在,那么必然有lim(N->+∞)N(7)/N(8)=1.
当2^N的首位为7或8时,设2^N的位数为m,位数小于m的数中,以7为首位的数字的个数,与以8为首位的数字的个数相同,而不超过2^N,位数为m的自然数中,以7为首位的数字的个数,多于以8为首位的数字的个数（若2^N=899...999,个数也相同,但是这种情况并不存在）,所以此时N(7)>N(8).位数小于m的数中,以7（或8）为首位的数字的个数为(10^(m-1)-1)/9；位数为m的数中,以7（或8）为首位的数字的个数为10^(m-1),比之前个数的9倍要多.若2^N=7999...999,则N(7)/N(8)>10.（这种情况也不可能出现,只作为假设）
当2^N的首位为7时,第二位若不为0,则N(7)/N(8)>2.这种情况在N足够大时,也会出现,所以im(N->+∞)N(7)/N(8)不存在.
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第二题,从单调有界的思路入手
0≤x(n)/n3e，那么对于上式，绝对值中的式子y(m)-q e。取n为满足的最小的自然数2^n>2m，则2^nk>m，x(2^n)< x(m)+x(k)。 y (2^n)< [m*y(m)+k*y(k)]/ 2^n= m*y(m) / 2^n +k*y(k) / 2^n [ 2^n* y (2^n) - m*(q-e)]/k > q+ 3e*m/k >q+e，即y(k) >q+e，与在N->+∞时，x(N)/N≤q矛盾。得证。然后证明：在N->+∞时，[p(m)*2^m*z(m)+...+p(1)*2*z(1)+ p(0)*z(0)]/N ->0，其中2^m0，且其极限为0，单调递减。N=p(m)*2^m+p(m-1)*2^(m-1)+...+ p(2)*2^2+p(1)*2+ p(0)，其中p(i)为1或0。对于任意e>0，存在足够大的M，使得z(M)2^(2M)时，[p(m)*2^m*z(m)+...+p(1)*2*z(1)+ p(0)*z(0)]/N +∞时，[p(m)*2^m*z(m)+...+p(1)*2*z(1)+ p(0)*z(0)]/N ->0。

求教两道数分题1.用N(k)表示不超过2^N的所有的自然数中以K为首位的数字的个数,求证lim(N->+∞)N(7)/N 用f(N)表示自然数N的各数位上数字和,在N大于2,求所有的N,使f(N的七次方)等于N. lim n^2(k/n-1/n+1-1/n+2-.-1/n+k)(其中K是与N无关的常数) lim(n趋向于无穷）（k/n-1/n+1-1/n+2－‘‘‘‘－1／n+k)(其中K为与N无关的正整数）对于自然数n,n的约数个数用A(n)表示,n的所有约数的和用B(n)表示. lim（n→∞) （(2n!/n!*n)^1/n的极限用定积分求用收敛的必要条件证明lim(n->∞) (2^n)*(n!)/(n^n)=0 给出一个自然数n,所有小于n且与n互质的自然数的个数用A(n)表示,为什么n>2时A(n)一定是偶数? 求lim(n趋向无穷)∑(k=1,2···,n)k/((n+k)*(n+k+1))的值给出一个自然数N,N的因数个数用A(N)表示…… lim∑SIN(K/n2) K从1到n n→∞...极限怎么算的.(n2表示n的平方) 求证:对于任意自然数n,代数式n(n+7)-(n-2)(n-3)的值都能被6整除.