甲沿圆形跑道跑,已知跑第一圈用1分钟,第二圈用3分钟,第三圈用5分钟.即每跑一圈将比前一圈多花2分钟.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/30 04:46:41

甲沿圆形跑道跑,已知跑第一圈用1分钟,第二圈用3分钟,第三圈用5分钟.即每跑一圈将比前一圈多花2分钟.
乙在甲跑了N分钟(N为奇数)后才开始从起点与甲同方向跑,已知乙开始跑时,甲不在起点上.乙跑步所花的时间与甲一样,跑第一圈用1分钟,第二圈用3分钟,第三圈用5分钟.即每跑一圈将比前一圈多花2分钟.
请问:能从以上条件,求出所有乙和甲同时在起点的时间(或此时他们跑完的整圈数)吗?
注:(1)题目是肯定至少有一个解的,因为甲乙跑的速度都越来越慢,当甲跑到某一圈刚好需要花N分钟时,此时甲刚好领先乙一圈,两人均在起点上面;
(2)解肯定是有限的.因为在上面情况(1)之后,甲跑任何一圈花的时间都将大于N分钟,乙落后甲N分钟,即不足一圈,双方再也不可能同时都在起点上.
(3)我想问的,就是如何通过以上条件,判定是否只有唯一解?如果不是唯一解,其他解如何求?

首先,我对你的“注”做一下评价：
1.在题目的条件下一定有解
2.解是有限的,而且其个数和N的因子个数有关.确切的说解的个数等于N因子中小于根号N的个数.
3.从2中说明可以看出当且仅当N是素数（质数）或素数的平方时题目有唯一解.假设N因子中小于根号N的因子依次为c1,c2,...,ck,甲跑完a圈时乙恰好跑完b圈,则原题的k个解为：
a = (ci+N/ci)/2,b = (-ci+N/ci)/2,1≤i≤k.
下面是详细的解题过程：
设甲跑完a圈时乙恰好跑完b圈,则此时甲花的时间为
1+3+...+(2a-1) = a^2,(这个等式见【注】)
乙花的时间为
1+3+...(2b-1) = b^2.
根据题意,有
a^2 - b^2 = N
从而
(a+b)*(a-b) = N
因此,a+b与a-b都是N的因子,记a-b=c,我们有
a+b = N/c
从而可得：
a = (c+N/c)/2
b = (-c+N/c)/2
注意到 c^2 = (a-b)^2

甲沿圆形跑道跑,已知跑第一圈用1分钟,第二圈用3分钟,第三圈用5分钟.即每跑一圈将比前一圈多花2分钟. 一条400米的跑道,明明跑第一圈用1.6分钟,第二圈用2分钟.明明跑第一圈时速是第二圈的几倍?（有过程）答甲乙两人按照顺时针的方向沿圆形跑道练习跑步，已知甲跑一圈要12分钟，乙跑一圈要15分，如果他们分别从圆形跑道的两端（半圈小明和爸爸在同一圆形跑道上,小明每15分跑一圈爸爸10分钟跑1圈,如跑到一圈为400米,相遇是,小明跑了多少m 男的跑一圈要15分钟,女的跑一圈要6分钟,男运动员经过3小时追上女运动员,并且比女运动员多跑了16圈,女运动员跑多少圈? 甲、乙两人按顺时针方向沿圆形跑道练习跑步,甲跑一圈用12分钟,乙跑一圈用15分钟.如果两人分别从圆形跑道的直径两端同时出我跑一圈用6分钟.爸爸跑一圈用4分钟.妈妈跑一圈用5分钟 5.学校田径队进行15分钟跑步训练.小伟1分可以跑三分之二圈.小兰一分可以跑五分之四圈.跑道一圈长200米,他俩一共跑多小强每天跑步,沿跑道跑5圈,已经跑了四分之一圈,大约用了3分钟,照这个速度,小强每天跑步用多少分钟? 我6分钟跑一圈,妈妈4分钟跑一圈,爸爸3分钟跑一圈,三人同时起跑,当他们三人在起点再次相遇时,三人分别跑了多少圈? 星期天的早上,我和爸、妈在体育场晨练.在跑道上爸爸跑一圈用2分钟,妈妈跑一圈用3分钟,我跑一圈用4分钟. 学校举行长跑预选赛,小刚绕跑道1分钟1圈,小明1分半跑1圈,小华75秒跑一圈,如果三人同时起步,至少再过多长时间又同时回