已知函数f(x)=1/2x∧2-alnx,求函数f(x)的单调区间,求证当x>1时,1/2x∧2+lnx
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/14 12:38:06
已知函数f(x)=1/2x∧2-alnx,求函数f(x)的单调区间,求证当x>1时,1/2x∧2+lnx
第一个问题:
∵f(x)=(1/2)x^2-alnx, ∴f′(x)=x-a/x=(x^2-a)/x.
令f′(x)=(x^2-a)/x>0,得:x^2-a>0、x>0;或x^2-a<0、x<0.
∴x^2>a、x>0;或x^2<a、x<0.
考虑到函数的定义域,需要x>0. ∴只有:x^2>a、x>0.
考查x^2>a、x>0,当a≦0时,x>0. 当a>0时,x>√a.
∴当a≦0时,函数的增区间是(0,+∞)、没有减区间.
当a>0时,函数的增区间是(√a,+∞)、函数的减区间是(0,√a).
第二个问题:
令F(x)=(1/2)x^2+lnx-(2/3)x^3.
求导数,得:F′(x)=x+1/x-2x^2、 F″(x)=1-1/x^2-4x.
显然,当x>1时,F″(x)=1-1/x^2-4x<0,
∴当x>1时,F′(x)=x+1/x-2x^2 是减函数,而F′(1)=1+1-2=0,
∴当x>1时,F′(x)<0, ∴当x>1时,F(x)=(1/2)x^2+lnx-(2/3)x^3 是减函数,
又F(1)=1/2+0-(2/3)=3/6-4/6=-1/6<0,
∴当x>1时,F(x)=(1/2)x^2+lnx-(2/3)x^3 <0,
∴(1/2)x^2+lnx<(2/3)x^3 .
∵f(x)=(1/2)x^2-alnx, ∴f′(x)=x-a/x=(x^2-a)/x.
令f′(x)=(x^2-a)/x>0,得:x^2-a>0、x>0;或x^2-a<0、x<0.
∴x^2>a、x>0;或x^2<a、x<0.
考虑到函数的定义域,需要x>0. ∴只有:x^2>a、x>0.
考查x^2>a、x>0,当a≦0时,x>0. 当a>0时,x>√a.
∴当a≦0时,函数的增区间是(0,+∞)、没有减区间.
当a>0时,函数的增区间是(√a,+∞)、函数的减区间是(0,√a).
第二个问题:
令F(x)=(1/2)x^2+lnx-(2/3)x^3.
求导数,得:F′(x)=x+1/x-2x^2、 F″(x)=1-1/x^2-4x.
显然,当x>1时,F″(x)=1-1/x^2-4x<0,
∴当x>1时,F′(x)=x+1/x-2x^2 是减函数,而F′(1)=1+1-2=0,
∴当x>1时,F′(x)<0, ∴当x>1时,F(x)=(1/2)x^2+lnx-(2/3)x^3 是减函数,
又F(1)=1/2+0-(2/3)=3/6-4/6=-1/6<0,
∴当x>1时,F(x)=(1/2)x^2+lnx-(2/3)x^3 <0,
∴(1/2)x^2+lnx<(2/3)x^3 .
已知函数f(x)=1/2x∧2-alnx,求函数f(x)的单调区间,求证当x>1时,1/2x∧2+lnx
已知函数f(x)=lnx-a(x-1)/x(a∈R)(1)求f(x)的单调区间(2)求证:不等式1/lnx-1/x-1
已知函数f(x)=-1/2x平方+lnx,求函数的单调区间.
已知f(x)=1/x+alnx若a=2,求函数f(x)的单调区间.
已知函数f(x)=x2+alnx,当a=-2时,求函数f(x)的单调区间
已知函数f[x]=x²减[2a+1]x+alnx 当a=1时函数f[x]的单调增区间 求函数f[x]在区间[1
已知函数f【x】=alnx+1/2x2-【1+a】x 【1】当a=1/2求函数f【x】的单调区间
已知函数f(x)=a(x-1/x)-2lnx 求f(x)的单调区间
已知函数f(x)=1/2x+lnx(1)求函数fx的单调区间(2)求证:当x>1时,1/2x+lnx<2/3x.
已知函数f(x)=lnx-ax 求f(x)的单调区间,当a>0时,求f(x)在[1,2]上的最小值
已知函数f(x)=[a-(1/2)]x^2+lnx 当a=0时,求函数f(x)的单调递增区间
已知函数f(x)=1/2*x^2+alnx,其中a不等于0,求函数的单调区间.