作业帮向刘老师请教一道关于矩阵可逆的题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 17:39:50
向刘老师请教一道关于矩阵可逆的题
设A是n（n大于等于2）阶矩阵,A^2=A但A不等于E,A*是A的伴随矩阵.证明：A*不可逆
设A是n（n大于等于2）阶矩阵,A^2=A但A不等于E,A*是A的伴随矩阵.证明：A*不可逆
这个问题,甘老师给你回答吧.反证法,如果A*可逆,那么A也可逆.A^2=A.即（A-E）A=0.由于A可逆,对上式子两端的右侧乘以A^-1.得到A-E=0.即A=E,矛盾
再问： 为什么A*可逆，A就可逆？
再答： 因为AA*=dE。当A*可逆的时候，它的逆就是A/d。那么A的逆就是A*/d。也可以通过行列式来看，|A*|=|A|^(n-1)。当A*可逆时，A*的行列式不为0，那么A的行列式也不为0，因此A可逆
再问： 为什么A*可逆，A就可逆？
再答： 因为AA*=dE。当A*可逆的时候，它的逆就是A/d。那么A的逆就是A*/d。也可以通过行列式来看，|A*|=|A|^(n-1)。当A*可逆时，A*的行列式不为0，那么A的行列式也不为0，因此A可逆