一直径一米的隧道贯穿地球南北极,一铁球掉进去,请问怎么求解它落到球心的时间（理想条件）?共同探讨

一直径一米的隧道贯穿地球南北极,一铁球掉进去,请问怎么求解它落到球心的时间（理想条件）?共同探讨

这个计算真心很麻烦,大体思路如下：
假设条件如下
地球为质量均匀分布的球体,地球的半径远大于1m,铁球顺着隧道中心掉落
方法：
由于是一维运动,假设求距离地球球心Z,并已球心、铁球所在直线为Z轴建立球坐标系.
在地球上取以微元sinθr^2drdθdΦ,其质量为ρsinθr^2drdθdΦ
对小球的万有引力为k*m*ρsinθr^2drdθdΦ/（z^2+r^2-2z*r*cosθ) 其中m为铁球质量
将上式在0≤r≤R,0≤θ≤π,0≤Φ≤2π的空间内积分,即可得到铁球在Z处所收的合外力,其中R为地球半径
设结果为F=f（Z） 再由牛二定律有ma=f（z）
a=dz^2/d^2t 代入上式有 mdz^2/d^2t-f（Z）=0
求解上面的二阶微分方程,可以的到z与时间t的函数关系,记为Z=T（t）
取Z=0代入函数,算出对应的t,即为最终落入地球球心的时间.
由于计算过程中设计积分与求解微分方程,所以很难在此给出完善的答案.
希望能够帮上你的忙.
再问： 谢谢你了，嗯我再想想
再答： 在这里，我只能解答你物理上面的困惑，以及简单的数学疑惑。如果涉及到具体的计算，不是纸笔演算的话，很难说的清楚。望见谅。
再问： 你再思考思考，我觉得你的方法有点问题
再答： 重新整理思路如下： 第一步：求出合外力与位置的关系F=f（Z) 第二步：利用牛二定律，得出Z与t的微分方程mdz^2/d^2t-f（Z）=0 第三步：求解微分方程，代入Z=0，得出对应的时间 以上为求解力学问题的基本思路，不会出错。 2、3为通用步骤，也不可能出错。 重点检查第一步： 小球只受万有引力，由于地球足够大，可以把小球看成一个质点 万有引力的合外力可以使用微元法求出，积分区域为整个球体，也没有错 所以我认为以上方法没有问题。 当然，该方法是一种近似算法，忽略条件有： 1、小球自身占有空间，因此按质点计算会导致引力有差距 2、忽略了直径一米的隧道，而将积分区域选为整个球体，这是为计算方便 3、地球实际上不是均匀分布的球体，而且两极窄，赤道宽。 但是以上因素对计算结果造成的影响可以预知是不大的，因此作为一种近似计算，上述方法的结果是具有相当的可信度的。
再问： 问题的关键就是物体所受的万有引力时刻变化，加速度也就时刻变化，而且小球受的力应该是万有引力的合力，因为运动中它既受到向上的力，又受到向下的力。我的知识还停留在二维积分，所以感觉应该很难做出来。请问一下你的学历（我猜还是大学生）
再答： 本人目前大三。 你说的合力情况是没有问题的，因为我们可以使用矢量积分 当然这里并没有这个必要，因为这里的铁球是在做一位运动，因此只需要取万有引力的Z方向分力即可 也就是从原来的k*m*ρsinθr^2drdθdΦ/（z^2+r^2-2z*r*cosθ) 写为cosA*k*m*ρsinθr^2drdθdΦ/（z^2+r^2-2z*r*cosθ) 其中A为微元提供的万有引力与Z轴的夹角 有几何关系可知： cosA=[d^2+(rcosθ)^2-（rsinθ）^2]/2d*rcosθ 其中d^2=（z^2+r^2-2z*r*cosθ) 化简即可以得到微元在Z方向提供的力的大小 其实这道题并不算十分难算，只是看上去很复杂而已 不过如果你想利用二维积分计算这个问题，恐怕有些难度。 如果你愿意利用一些非基本的公式的话，这道题可以比较简单的做出： 万有引力公式：F＝GmM/r^2 库仑定律：F=k*(q1*q2)/r^2 容易发现两个公式在数学上具有良好的相似性 利用电动力学中的 高斯定理：通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的所有电荷量的代数和与电常数之比。 可以推知，如果一个闭合曲面内不存在质量，那么引力场在这个闭合曲面上的积分为零。（即引力场在该面上的通量为零） 假设对一个质量均匀分布的球壳，在其内部取一个同心的球面，显然这个球面内部的质量之和为零，所以引力场场强在这个面上的积分为零，又由于球壳上质量均匀分布，所以易知所取球面上的引力场均匀分布，所以球面上的引力场处处为零。 因此得到结论，一个质量均匀分布的球壳对内部任意一点的引力之和为零。 同样用这种方法可以得到一个球壳对距离圆心Z（Z＞R，R为球壳半径）的点，其引力场的场强E有：4πR^2dR*ρ/k=4πZ^2*E 仿照高斯公式可以推知常数k=1/4πG 因此该球壳对于铁球的万有引力为： (R/Z)^2*ρ*4πG*mdR 其中m为铁球质量 由之前证明可知，当R＞Z时，球壳对铁球的合力为零 所以只需要对(R/Z)^2*ρ*4πG*mdR 从R=0积分到R=Z既可以的到Z与F的关系 这个积分十分简单 其实电动力学中的高斯定理是有数学中的高斯定理推导出的，因此在三维空间积分的过程中运用数学中的高斯定理同样可以比较简单的将答案计算出来