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已知不等式:1/n+1 + 1/n+2 +……+1/n+n>1/12㏒a(a-1)+2/3对一切大于1的自然数n恒成立,

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/14 16:41:10
已知不等式:1/n+1 + 1/n+2 +……+1/n+n>1/12㏒a(a-1)+2/3对一切大于1的自然数n恒成立,求实数a的取值范围.
1/12㏒a(a-1)中以a为底数以(a-1)为对数
考虑f(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)

f(n+1)-f(n)=1/(2n+1)+1/(2n+2)-1/(n+1)
=1/(2n+2)(2n+1)>0
则f(n)mim=f(2)=7/12
于是7/12>1/12log[a](a-1)+2/3
得log[a](a-1)<-1
当0<a<1时,解不等式a-1>1/a,无解.
当a>1时,解a-1<1/a,得1<a<(1+√5)/2.
综上,1<a<(1+√5)/2.