作业帮如何将初中的三角函数和高中的衔接起来
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 02:54:46
如何将初中的三角函数和高中的衔接起来
单位圆研究三角函数在初高中知识衔接中的作用
初中的三角函数是在直角三角形中研究的,对于自变量“角”的范围也只是0---90度,只是很有限.随着工业革命的出现,实践中问题的扩展,角的范围不仅仅停留在锐角了；同时角的单位的度量也有很大的局限性,与实数集结合问题也凸显出来.那么如何将初中的这种对应关系扩展,顺理成章的引入任意角的三角函数的对应关系,成了当务之急.老教材是通过三角函数线引入的,但和初中的知识连接起来有些牵强,处理的方式也很机械.现在回忆起来我上高中学习三角函数的时候,也只保留了那些记忆公式的形形色色的方法,至于知识的衔接就没有什么印象了.
而现行教材通过引入了单位圆使三角函数的衔接变得就顺理成章了,主要表现在以下几个方面：
1）用单位圆定义的三角函数与我们用锐角定位的三角函数是一致的.无论是锐角还是更大的角都可以通过对边 邻边 斜边之间的对应关系来得到
2）利用单位圆研究三角函数的周期性
利用单位圆可以很直观地突出三角函数最重要的性质——周期性.在直角坐标系的单位圆中,是单位圆的自然的动态描述,当角 增大（减小） 时,P点沿着单位圆运动最终回到原来的位置,这说明角 与角 的正弦、余弦函数值分别不变.由此看出正弦、余弦函数具有周期性.
3）利用单位圆的对称性研究诱导公式
借助单位圆的几何直观效果,可以帮助学生学习和理解正弦、余弦函数的诱导公式.
在直角坐标系的单位圆中,不难看出,角 的终边与角 的终边关于 轴对称,它们和单位圆的交点的纵坐标相等,横坐标的绝对值相等且符号相反,即 .其它可同理分析.
4）利用单位圆中的有向线段表示三角函数值（三角函数线）：
三角函数线是三角函数的一种几何表示,在旧教材中,三角函数线通过“终边定义法”,引入单位圆,花了一节课的时间专门学习,内容详细,没有例题设置,需要用练习中的习题在堂上评讲.
而在新课程中,因为三角函数线的作用有限,三角函数线只是作为一种工具一代而过,目的是淡化这一概念,同时突出单位圆的作用.由于应用了“单位圆定义法”,三角函数线就变得很简单,是“数”与“形”的结合而已.三角函数线的始点与终点问题,学生可参照角 的终边与单位圆的交点的横、纵坐标自己推出,不用再专门规定.
5、利用单位圆中的有向线段（三角函数线）作三角函数的图象：
通过平移（旋转）三角函数线的方法可以得到比较精确的三角函数图象.
总之“我们利用这个图几乎把三角函数所有基本性质,包括诱导公式都在这个图里一目了然.所以这张图利用单位元来理解三角函数的实质,对我们掌握单位元的性质等等都是非常方便和有利的,远远比我们传统的三角函数限制要好的多.”
初中的三角函数是在直角三角形中研究的,对于自变量“角”的范围也只是0---90度,只是很有限.随着工业革命的出现,实践中问题的扩展,角的范围不仅仅停留在锐角了；同时角的单位的度量也有很大的局限性,与实数集结合问题也凸显出来.那么如何将初中的这种对应关系扩展,顺理成章的引入任意角的三角函数的对应关系,成了当务之急.老教材是通过三角函数线引入的,但和初中的知识连接起来有些牵强,处理的方式也很机械.现在回忆起来我上高中学习三角函数的时候,也只保留了那些记忆公式的形形色色的方法,至于知识的衔接就没有什么印象了.
而现行教材通过引入了单位圆使三角函数的衔接变得就顺理成章了,主要表现在以下几个方面：
1）用单位圆定义的三角函数与我们用锐角定位的三角函数是一致的.无论是锐角还是更大的角都可以通过对边 邻边 斜边之间的对应关系来得到
2）利用单位圆研究三角函数的周期性
利用单位圆可以很直观地突出三角函数最重要的性质——周期性.在直角坐标系的单位圆中,是单位圆的自然的动态描述,当角 增大（减小） 时,P点沿着单位圆运动最终回到原来的位置,这说明角 与角 的正弦、余弦函数值分别不变.由此看出正弦、余弦函数具有周期性.
3）利用单位圆的对称性研究诱导公式
借助单位圆的几何直观效果,可以帮助学生学习和理解正弦、余弦函数的诱导公式.
在直角坐标系的单位圆中,不难看出,角 的终边与角 的终边关于 轴对称,它们和单位圆的交点的纵坐标相等,横坐标的绝对值相等且符号相反,即 .其它可同理分析.
4）利用单位圆中的有向线段表示三角函数值（三角函数线）：
三角函数线是三角函数的一种几何表示,在旧教材中,三角函数线通过“终边定义法”,引入单位圆,花了一节课的时间专门学习,内容详细,没有例题设置,需要用练习中的习题在堂上评讲.
而在新课程中,因为三角函数线的作用有限,三角函数线只是作为一种工具一代而过,目的是淡化这一概念,同时突出单位圆的作用.由于应用了“单位圆定义法”,三角函数线就变得很简单,是“数”与“形”的结合而已.三角函数线的始点与终点问题,学生可参照角 的终边与单位圆的交点的横、纵坐标自己推出,不用再专门规定.
5、利用单位圆中的有向线段（三角函数线）作三角函数的图象：
通过平移（旋转）三角函数线的方法可以得到比较精确的三角函数图象.
总之“我们利用这个图几乎把三角函数所有基本性质,包括诱导公式都在这个图里一目了然.所以这张图利用单位元来理解三角函数的实质,对我们掌握单位元的性质等等都是非常方便和有利的,远远比我们传统的三角函数限制要好的多.”