若f(x)在(-∞,+∞）内连续,证明：1,若f(x)为奇函数,则∫（0,x）f(t)dt为偶函数；2,若f(x)为偶函

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 14:43:08

若f(x)在(-∞,+∞）内连续,证明：1,若f(x)为奇函数,则∫（0,x）f(t)dt为偶函数；2,若f(x)为偶函数
,则∫（0,x）f(t)dt为奇函数

令u=-t
若f(x)为奇函数,∫（0,x）f(t)dt记作G1(x)
G1(-x) = ∫（0,-x）f(t)dt
= ∫（0,x）f(-u)d(-u)
= ∫（0,x）f(u)d(u)
= ∫（0,x）f(t)dt
=G1(x)
若f(x)为偶函数,∫（0,x）f(t)dt记作G2(x)
G2(-x) = ∫（0,-x）f(t)dt
= ∫（0,x）f(-u)d(-u)
= -∫（0,x）f(u)d(u)
= -∫（0,x）f(t)dt
=G2(x)
再问： G2(-x) = ∫（0，-x）f(t)dt = ∫（0，x）f(-u)d(-u) 上面是 ∫（0，-x）下面怎么就变成 ∫（0，x）了？没看懂
再答： �� t= -u, �� t= 0ʱ��-u=0�� u=0�� t = -xʱ��-u=-x�� u=x�� u��x�仯��0�� -u�� -x�仯��0�� t�� -x�仯��0��Դ�֮�� t�ġң�0��-x�� ͱ�ɶ�u�ġң�0��x��
再问： ��һ�� = �ң�0��x��f(-u)d(-u) һʽ = -�ң�0��x��f(u)d(u) ��ʽ һʽ�� ô �䵽2ʽ�� Ӧ�� -�ң�0��x��f(-u)d(u) Ϊʲô�� -�ң�0��x��f(u)d(u)
再答： ∫（0，x）f(-u)d(-u) 对d(-u)计算 d(-u) = -du = - ∫（0，x）f(-u)du 偶函数f(-u) = f(u) =-∫（0，x）f(u)d(u)

若f(x)在(-∞,+∞）内连续,证明：1,若f(x)为奇函数,则∫（0,x）f(t)dt为偶函数；2,若f(x)为偶函定积分证明题设f(x)在(-∞,+∞)上连续,F(x)=∫(2x-4t)f(t)dt（从0到x）,若f(x)为奇函数,（设函数f(x)在负无穷到正无穷内连续,且F(x)=∫(0到x)(x-2t)f(t)dt,证明若fx为偶函数,则Fx也是偶若f（t）为连续函数且为奇函数,证明：F（X）=∫f（t）dt（上限是X下限是0）是偶函数 f(x)在R上可导,证明若f(x)为偶函数,则f'(x)为奇函数若函数f（t）是连续函数且为奇函数,证明f（t）dt.x上是偶函数 f(x)为偶函数,证明F(x)=∫[0,x](2t-x)f(t)dt也为偶函数设f(x)在[-a,a]上连续,且为偶函数,φ(x)=∫(0->x)f(t)dt,则φ(x)是偶函数还是奇函数 f(x)在(－∞,＋∞）上连续且是偶函数,F（x)=∫[0,x](x-2t)f(t)dt 试证F(x)为偶函数(解答过程 f(x)在(－∞,＋∞）上连续且是偶函数,F（x)=∫[0,x}(x-2t)f(t)dt 试证：F（x)为偶函数,求过程 f(t)是连续的奇函数,证明∫(0,x)f(t)dt是偶函数, f(t)为连续的偶函数,证明∫(0,x)f(t)dt为奇设f(x)在[-a,a]上为连续奇函数,则F(x)=∫(0,x)f(t)dt ( )