作业帮二阶常系数齐次线性微分方程 通解
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 11:31:06
二阶常系数齐次线性微分方程 通解
通解有三种情况 其中一种一直不懂 什么共轭复根 比如说这个题目：
求微分方程y-2y+5y= 0的通解.
解 所给方程的特征方程为
r2-2r+5=0
特征方程的根为r1=1+2i r2=1-2i 是一对共轭复根
因此所求通解为
y=ex(C1cos2x+C2sin2x).
帮忙解释下r1怎么会等于1+2i,r2怎么会等于1-2i谢谢!
通解有三种情况 其中一种一直不懂 什么共轭复根 比如说这个题目：
求微分方程y-2y+5y= 0的通解.
解 所给方程的特征方程为
r2-2r+5=0
特征方程的根为r1=1+2i r2=1-2i 是一对共轭复根
因此所求通解为
y=ex(C1cos2x+C2sin2x).
帮忙解释下r1怎么会等于1+2i,r2怎么会等于1-2i谢谢!
y'' - 2y' + 5y = 0,
设y = e^[f(x)],则
y' = e^[f(x)]*f'(x),
y''= e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x).
0 = y'' - 2y' + 5y = e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x) - 2e^[f(x)]*f'(x) + 5e^[f(x)],
0 = [f'(x)]^2 + f''(x) - 2f'(x) + 5,
当f(x) = ax + b,a,b是常数时.
f''(x) = 0,
f'(x) = a.
0 = a^2 - 2a + 5.
2^2 - 4*5 = -16 < 0.(2^2-4*5)^(1/2)=4i.
a = [2 + 4i]/2 = 1 + 2i或a = [2-4i]/2 = 1 - 2i.
y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1+2i)x + b] = e^[x+b]*e^(2ix)
或
y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1-2i)x + b] = e^[x+b]*e^(-2ix)
因2个解都满足微分方程.所以,微分方程的实函数解为,
y = e^[x+b]*e^(2ix) + e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)+e^(-2ix)] = 2e^[x+b][cos(2x)]
或
y = e^[x+b]*e^(2ix) - e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)-e^(-2ix)] = 2e^[x+b][sin(2x)]
微分方程的实函数的通解为,
y = 2c1e^[x+b][cos(2x)] + 2c2e^[x+b][sin(2x)]
= e^x[2c1e^bcos(2x) + 2c2e^bsin(2x)]
其中,c1,c2 是任意常数.
记
C1 = 2c1e^b,C2 = 2c2e^b,
有
y = e^x[C1cos(2x) + C2sin(2x)]
C1,C2为任意常数.
这个,可能就是特征方程无实数根时,通解的由来吧~
【俺记忆力很差,公式都记不住,全靠傻推.
这样的坏处是费时,好处是,自己推1遍,来龙去脉就清楚1些了.
不知道,俺的傻推过程对你的疑问有点帮助没~】
设y = e^[f(x)],则
y' = e^[f(x)]*f'(x),
y''= e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x).
0 = y'' - 2y' + 5y = e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x) - 2e^[f(x)]*f'(x) + 5e^[f(x)],
0 = [f'(x)]^2 + f''(x) - 2f'(x) + 5,
当f(x) = ax + b,a,b是常数时.
f''(x) = 0,
f'(x) = a.
0 = a^2 - 2a + 5.
2^2 - 4*5 = -16 < 0.(2^2-4*5)^(1/2)=4i.
a = [2 + 4i]/2 = 1 + 2i或a = [2-4i]/2 = 1 - 2i.
y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1+2i)x + b] = e^[x+b]*e^(2ix)
或
y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1-2i)x + b] = e^[x+b]*e^(-2ix)
因2个解都满足微分方程.所以,微分方程的实函数解为,
y = e^[x+b]*e^(2ix) + e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)+e^(-2ix)] = 2e^[x+b][cos(2x)]
或
y = e^[x+b]*e^(2ix) - e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)-e^(-2ix)] = 2e^[x+b][sin(2x)]
微分方程的实函数的通解为,
y = 2c1e^[x+b][cos(2x)] + 2c2e^[x+b][sin(2x)]
= e^x[2c1e^bcos(2x) + 2c2e^bsin(2x)]
其中,c1,c2 是任意常数.
记
C1 = 2c1e^b,C2 = 2c2e^b,
有
y = e^x[C1cos(2x) + C2sin(2x)]
C1,C2为任意常数.
这个,可能就是特征方程无实数根时,通解的由来吧~
【俺记忆力很差,公式都记不住,全靠傻推.
这样的坏处是费时,好处是,自己推1遍,来龙去脉就清楚1些了.
不知道,俺的傻推过程对你的疑问有点帮助没~】
二阶常系数齐次线性微分方程 通解
求常系数齐次线性微分方程的通解.
微分方程y'=x^2 的通解为多少 二阶常系数线性齐次微分方程y''-3y'=0 的通解为
二阶常系数非齐次线性微分方程,求下列微分方程的通解
求二阶系数线性齐次微分方程y”+2y=0的通解
关于n阶常系数齐次线性微分方程通解的形式
关于二阶常系数齐次线性微分方程的疑问
求一个二阶常系数线性非齐次微分方程的通解!二阶 常系数 线性 非齐次 微分方程
高数二阶常系数齐次线性微分方程.
二阶常系数非齐次线性微分方程求通解怎么设特解
非齐次线性微分方程为什先求其齐次线性微分方程的通解然后再用常数变易法求其通解?
二阶常系数线性微分方程