作业帮线性代数里 “矩阵的逆等于其本身”的充要条件是什么?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 18:29:54
线性代数里 “矩阵的逆等于其本身”的充要条件是什么?
也就是求“矩阵的逆等于其本身”的所有情况!
换句话说：
设n阶矩阵A是可逆矩阵,且A=A^-1,求A可能的所有种类矩阵并说明每种符合条件的矩阵的性质!
我已经知道的有对称的正交阵。。。？。。。。。。
哥们麻烦补充一个证明
也就是求“矩阵的逆等于其本身”的所有情况!
换句话说：
设n阶矩阵A是可逆矩阵,且A=A^-1,求A可能的所有种类矩阵并说明每种符合条件的矩阵的性质!
我已经知道的有对称的正交阵。。。？。。。。。。
哥们麻烦补充一个证明
其充要条件为,"A的行列式值为1或-1,并且R(E-A)+R(E+A)=n.”
理由：下面仅证明条件的必要性：
因为A=A^-1;
所以显然A的行列式值为1或-1.
且A^2=E^,
故有（E-A）*（E+A）=0;
那么不妨设R(E-A)=r,并设有方程(E-A)*X=0(其中X是n维列向量)
显然可知,X的解向量有n-r组线性无关,那么又因为方阵(E+A)可看做是n组X的解向量组成,所以R(E+A)=n-r；
所以R(E-A)+R(E+A)=n.
得证
理由：下面仅证明条件的必要性：
因为A=A^-1;
所以显然A的行列式值为1或-1.
且A^2=E^,
故有（E-A）*（E+A）=0;
那么不妨设R(E-A)=r,并设有方程(E-A)*X=0(其中X是n维列向量)
显然可知,X的解向量有n-r组线性无关,那么又因为方阵(E+A)可看做是n组X的解向量组成,所以R(E+A)=n-r；
所以R(E-A)+R(E+A)=n.
得证