柯西、均值不等式的简单问题- -已知a+b+c=1且abc都为正数.求（a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 03:24:58

柯西、均值不等式的简单问题- -已知a+b+c=1且abc都为正数.求（a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值
已知a+b+c=1且abc都为正数.求（a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值
原式=a2+2+1/a2+b2+2+1/b2+c2+2+1/c2=(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2+1/c2)+6
基本不等式得(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2+1/c2)+6>=2根号下[(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2+1/c2)]+6
柯西不等式得(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2+1/c2)>=3^2=9
所以(a2+b2+c2)+(1/a2+1/b2+1/c2)+6>=2根号9+6=12
这么做为什么不对啊- -

问题在于两次放缩的等号不能同时成立, 所以得到的下界不能取到, 不是最小值.
其中均值不等式取等需要a²+b²+c² = 1/a²+1/b²+1/c².
而Cauchy不等式取等需要a²:b²:c² = 1/a²:1/b²:1/c², 得a² = b² = c².
在a+b+c = 1且a, b, c > 0的条件下有a = b = c = 1/3.
此时均值不等式等号不能成立.
求最小值的问题最好验证一下最小值能否取到.
我的方法是这样.
由Cauchy不等式或幂平均不等式有a²+b²+c² ≥ (a+b+c)²/3 = 1/3.
同理1/a²+1/b²+1/c² ≥ (1/a+1/b+1/c)²/3.
而由Cauchy不等式有1/a+1/b+1/c = (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 9.
于是1/a²+1/b²+1/c² ≥ 9²/3 = 27.
(a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)² ≥ 1/3+27+6 = 100/3.
易见a = b = c = 1/3时等号成立, 故最小值为100/3.

柯西、均值不等式的简单问题- -已知a+b+c=1且abc都为正数.求（a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c) 高二均值不等式,已知a,b,c都为正数,求证：(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))>=9/2 已知a+b+c=1且abc都为正数.求（a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值均值不等式问题,已知a,b,c属于R,且a/(b+c)=b/(a+c)-c/(a+b),证明b/(a+c)≥（√17-1 一道均值不等式问题已知a.b.c均为正数,且a b c=1,求证1/(a b) 1(b c) 1/(c a)大于等于9/ 不等式证明已知a、b、c为不等的正数,且abc=1,求证√a+√b+√c 已知abc为正数,且a+b+c=1,求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 已知a,b,c均为正数且a+1除以b+c+2=b+1除以a+c+2=c+1除以a+b+c=k求k的值已知正数a,b,c,abc=1,a^2/(a+2b)+b^2/(b+2c)+c^2/(c+2a)的最小值已知abc均为正数且a+b+c=1 1/a+1/b+1/c=10 求abc的最小值 1 已知a,b,c都不等于0,且a/|a|+b/|b|+c/|c|+abc/|abc|的最大值为m,最小值为n,求：20 a,b,c都为正数,a+b+c=1用柯西不等式证a^2+b^2+c^2>=1/3.