如图,在平面直角坐标系中,直线y=1/2x-1与抛物线y=-1/4x^2+bx+c交于A、B两点,点A在x轴上,点B的横

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 06:55:04

如图,在平面直角坐标系中,直线y=1/2x-1与抛物线y=-1/4x^2+bx+c交于A、B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为－8．点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合）．
1、连接PA、PB,在点P运动过程中,是否存在某一位置,使△PAB恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形,若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由；
2、过P作PD∥y交AB于D,以PD为直径作圆E,求圆E在直线AB上截得的线段的最大长度

1. 思路：B(2,0), 把x=-8代入y=1/2x-1得A(-8,-5)
B(2,0), A(-8,-5) 代入y=-1/4x^2+bx+c得抛物线表达式y=-1/4x^2-x+3
求AB的中点C（-3,-2.5）,过C作CF⊥AB交抛物线与F,设CF为y=-2x+b求得方程y=-2x-8.5
再与抛物线联立y=-2x-8.5
y=-1/4x^2-x+3
解得
F坐标
再求出直线FA,FB得k值是否是互为负倒数
若是,点F即为点P
2.作PG⊥AB于点G,△PDG∽△ADH,（H为PD与x轴的交点）
所截线段即DG
DG/DP=DH/AH
设D（x, ½ x-1）P(x, -1/4x^2-x+3 )
DG= - (½ x-1) / (2-x) ·[(-1/4x^2-x+3)-(½ x-1)]
=-(½ x-1) (x+8)
=-½ x²-3x+8
当x=-3时,DG有最大值,为12.5