作业帮信号傅立叶变换及其原始信号恢复
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 21:23:18
信号傅立叶变换及其原始信号恢复
我将一个周期信号的单一周期波形进行fft运算（128个值,1秒）,后得到128个复数,也就是这个单一周期波形的傅立叶变换形式.第一个谐波,harmonic 0是波形均值,之后h1到h64为正向频域f；从h64到h127为负向频域-f,与前64个harmonics对称.发现如果将h64到h128去掉,对前64个harmonics进行ifft运算,不能直接得到原始波形,为什么?
我们通常将比如harmonic 0到harmonic 20转换成正弦函数,经过线性叠加,基本就可以恢复原始波形了.为什么ifft不能做到?而是必须有128个harmonics才可以完全恢复原始波形?
我将一个周期信号的单一周期波形进行fft运算（128个值,1秒）,后得到128个复数,也就是这个单一周期波形的傅立叶变换形式.第一个谐波,harmonic 0是波形均值,之后h1到h64为正向频域f；从h64到h127为负向频域-f,与前64个harmonics对称.发现如果将h64到h128去掉,对前64个harmonics进行ifft运算,不能直接得到原始波形,为什么?
我们通常将比如harmonic 0到harmonic 20转换成正弦函数,经过线性叠加,基本就可以恢复原始波形了.为什么ifft不能做到?而是必须有128个harmonics才可以完全恢复原始波形?
针对该问题,愚见如下：
首先,进行DFT或FFT之后,得到的是信号频谱分量信息,通常情况下,一个N点的信号,需要作N1（N1>=N）点FFT或DFT才能恢复原信号,由于DFT也是周期的,其周期为N1,那么就必须用DFT之后的任意一个周期的内的所有频谱分量信息都用完才能恢复原信号.DFT或FFT之后信号幅度值确实是对称的,但并不是说你用它一半的频谱分量值就可以重构原信号了,对称的目的只是为了减少计算量,比如,你只要计算前N1/2个点的DFT就可以了,后N1/2个点不用计算,就直接用前面依次赋值给后面的就可以了,但是还是要用这N1个点的频谱信息才能重构原信号.这就好比投影一样,以正交投影为例,平面内的向量正交投影到X和Y轴上,那么要重构原向量,必须知道这两个轴上的投影分量大小,你用其中一个分量显然是不能重构原向量的,即使两个分量大小一样（正如FFT中的对称）,显然也是不能重构原向量的,除非向量就在坐标轴上,这只是一种特殊情况.不知我说得是否清楚!
再问： 非常感谢您的回答！我在考虑，就对称来讲，比方说N=128，DFT后前64是一半的频谱分量。那么基本上从第10到第64分量才称为高频部分，而从第65到第128只能是对称部分，不能称为原始波形的高频部分，对么？谢谢。
再答： 对于数字信号的频谱而言，它的周期是2*pi，对于DFT，比如做N点DFT就相当于在2*pi内，插入N个点，高频和低频只是一个相对的概念或范畴，对于不同的对象有不同的定义。比如做128点DFT，那么64处附近的分量可以称之为低频分量，而128处附近的分量可以称之为高频分量，64处相当于0频处，128相当于pi处，0处相当于-pi处，其实其对称处如0位置处仍然可以称之为高频分量，只是频率为负数罢了，但是我们一般只考虑正频率，因为对于不考虑相位时的幅度谱总是对称的，而考虑负频率只不过没有多大的意义。
首先,进行DFT或FFT之后,得到的是信号频谱分量信息,通常情况下,一个N点的信号,需要作N1（N1>=N）点FFT或DFT才能恢复原信号,由于DFT也是周期的,其周期为N1,那么就必须用DFT之后的任意一个周期的内的所有频谱分量信息都用完才能恢复原信号.DFT或FFT之后信号幅度值确实是对称的,但并不是说你用它一半的频谱分量值就可以重构原信号了,对称的目的只是为了减少计算量,比如,你只要计算前N1/2个点的DFT就可以了,后N1/2个点不用计算,就直接用前面依次赋值给后面的就可以了,但是还是要用这N1个点的频谱信息才能重构原信号.这就好比投影一样,以正交投影为例,平面内的向量正交投影到X和Y轴上,那么要重构原向量,必须知道这两个轴上的投影分量大小,你用其中一个分量显然是不能重构原向量的,即使两个分量大小一样（正如FFT中的对称）,显然也是不能重构原向量的,除非向量就在坐标轴上,这只是一种特殊情况.不知我说得是否清楚!
再问： 非常感谢您的回答！我在考虑，就对称来讲，比方说N=128，DFT后前64是一半的频谱分量。那么基本上从第10到第64分量才称为高频部分，而从第65到第128只能是对称部分，不能称为原始波形的高频部分，对么？谢谢。
再答： 对于数字信号的频谱而言，它的周期是2*pi，对于DFT，比如做N点DFT就相当于在2*pi内，插入N个点，高频和低频只是一个相对的概念或范畴，对于不同的对象有不同的定义。比如做128点DFT，那么64处附近的分量可以称之为低频分量，而128处附近的分量可以称之为高频分量，64处相当于0频处，128相当于pi处，0处相当于-pi处，其实其对称处如0位置处仍然可以称之为高频分量，只是频率为负数罢了，但是我们一般只考虑正频率，因为对于不考虑相位时的幅度谱总是对称的，而考虑负频率只不过没有多大的意义。