作业帮大一新生求一题高数极限
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 03:37:05
大一新生求一题高数极限
求lim（x→0 ）[(a^x+b^x)/2]^(3/x),a、b均>0,均为常数\x0c要详细解法谢谢
求lim（x→0 ）[(a^x+b^x)/2]^(3/x),a、b均>0,均为常数\x0c要详细解法谢谢
大二学长来教教你~
lim（x→0 ）[(a^x+b^x)/2]^(3/x)
=e^lim（x→0 ）3ln[(a^x+b^x)/2]/x
(因为指数上x->0的时候,ln[(a^x+b^x)/2]->0,分母x->0,所以根据罗比达法则,分子分母分别求导)
=e^lim（x→0 ）3*2/(a^x+b^x)*(lna*a^x+lnb*b^x)
=e^lim（x→0 ）3*(lna*a^x+lnb*b^x)
=e^3(lna+lnb)
=a^3*b^3
lim（x→0 ）[(a^x+b^x)/2]^(3/x)
=e^lim（x→0 ）3ln[(a^x+b^x)/2]/x
(因为指数上x->0的时候,ln[(a^x+b^x)/2]->0,分母x->0,所以根据罗比达法则,分子分母分别求导)
=e^lim（x→0 ）3*2/(a^x+b^x)*(lna*a^x+lnb*b^x)
=e^lim（x→0 ）3*(lna*a^x+lnb*b^x)
=e^3(lna+lnb)
=a^3*b^3