一道微积分习题lim（x趋向于无穷大）x[（1+1/x)^x-e]

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/26 19:03:25

一道微积分习题
lim（x趋向于无穷大）x[（1+1/x)^x-e]

limx[(1+1/x)^x-e]
=lim[(1+1/x)^x-e]/(1/x)
令x=1/t,则原式化为
lim[(1+t)^(1/t)-e]/t
=lim{e^[(1/t)ln(1+t)]-e}/t
=lim{e^[ln(1+t)/t]-e}/t
=elim{e^[ln(1+t)/t-1]-1}/t (*)
=elim{[ln(1+t)/t]-1}/t
=elim[ln(1+t)-t]/t²(洛必达法则)
=elim[1/(1+t)-1]/(2t)
=elim(-t)/[2t(1+t)]
=-e/2
(*)用的是等价无穷小代换.
e^x-1～x(x→0),令x=ln(1+t)/t-1,因为
lim[ln(1+t)/t-1]
=lim[ln(1+t)-t]/t(洛必达法则)
=lim[1/(1+t)-1]/1
=0
故e^[ln(1+t)/t-1]-1～ln(1+t)/t-1(t→0,即ln(1+t)/t-1→0)

一道微积分习题lim（x趋向于无穷大）x[（1+1/x)^x-e] lim(x趋向于无穷大时)e^(1/x) lim（x趋向于无穷大）x[（1+1/x)^x-e] lim（x-3/x+1）^x lim趋向无穷大微积分求极限：lim(x趋向于无穷大)(1-2/x)^(-1) lim（x/（1+x^2））,x趋向无穷大 lim趋向于无穷大时（e的x/2次方）-1的极限 lim（1+1/x^2）^x x趋向于无穷大的极限求极限 lim(x趋向于无穷大） x{ln(2+1/x)-ln2} 要详解 lim(1+e^1/x)^x,x趋向于+0 lim(x趋向于正无穷大时）[√(x^2+2x)-√(x-1)]/x 求极限问题{x趋向于无穷大} lim[(2x-1)/(2x+1)]^(x+1),