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用反证法证明(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于1/4,其中a,b,c∈(0,1)

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/01 07:32:11
用反证法证明(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于1/4,其中a,b,c∈(0,1)
简单呀
x+1/x ≥2,这个总知道的吧
假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4,
那么
1-a>1/4b
1-b>1/4c
1-c>1/4a
三式相加变形得
3-(a+b+c) > 1/4 * (1/a+1/b+1/c)
再两边乘2,变形得
(2a + 2b + 2c + 1/2a + 1/2b + 1/2c) < 6
而2a + 1/2a ≥ 2
2b + 1/2b ≥ 2
2c + 1/2c ≥ 2
即(2a + 2b + 2c + 1/2a + 1/2b + 1/2c) ≥ 6
这与上式矛盾,所以原式成立
唉,楼上的更简洁啊
我土了