作业帮常微分 一阶线性常系数齐次方程组
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 16:23:08
常微分 一阶线性常系数齐次方程组
请帮忙举出一个一阶线性常系数齐次方程组并解出来.
请帮忙举出一个一阶线性常系数齐次方程组并解出来.
就是先把方程组的系数写成矩阵的形式再解特征根~
比如说方程组dx/dt=3x-5y
dy/dt=5x+3y
那么该矩阵A就是[3 -5] (不会打大的括号,凑合看吧)
[5 3]
下面算det(A-λE)=|3-λ -5|=λ^2-6λ-34
| 5 3-λ|
解得特征根为λ1=3+5i λ2=3-5i
所以方程组有形如 h·exp{(3+5i)t} , k·exp{(3-5i)t}的基本解组
p.s. exp{X}就是e的X次幂的意思
其中h k满足(A-λ1E)=0 (A-λ2E)=0
由于A-λ1E=[-5i -5] A-λ2E=[5i -5]
[ 5 -5i] [5 5i]
故可取h=[i] k=[-i]
[1] [1 ]
因为exp{(3+5i)t}=exp{3t}(cos5t+isin5t)
p.s. 共轭的复数分解后只是差个负号,不影响通解结构所以分解一个就行啦~
h·exp{(3+5i)t}=[-sin5t]exp{3t}+i[cos5t]exp{3t}
[cos5t ] [sin5t]
所以原方程的实通解
[x]=C1[-sin5t]exp{3t}+C2[cos5t]exp{3t}
[y] [cos5t ] [sin5t]
嗯……不知道能不能明白呀……
比如说方程组dx/dt=3x-5y
dy/dt=5x+3y
那么该矩阵A就是[3 -5] (不会打大的括号,凑合看吧)
[5 3]
下面算det(A-λE)=|3-λ -5|=λ^2-6λ-34
| 5 3-λ|
解得特征根为λ1=3+5i λ2=3-5i
所以方程组有形如 h·exp{(3+5i)t} , k·exp{(3-5i)t}的基本解组
p.s. exp{X}就是e的X次幂的意思
其中h k满足(A-λ1E)=0 (A-λ2E)=0
由于A-λ1E=[-5i -5] A-λ2E=[5i -5]
[ 5 -5i] [5 5i]
故可取h=[i] k=[-i]
[1] [1 ]
因为exp{(3+5i)t}=exp{3t}(cos5t+isin5t)
p.s. 共轭的复数分解后只是差个负号,不影响通解结构所以分解一个就行啦~
h·exp{(3+5i)t}=[-sin5t]exp{3t}+i[cos5t]exp{3t}
[cos5t ] [sin5t]
所以原方程的实通解
[x]=C1[-sin5t]exp{3t}+C2[cos5t]exp{3t}
[y] [cos5t ] [sin5t]
嗯……不知道能不能明白呀……