已知函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e]时,f(x)=ax+lnx.
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/01 07:28:45
已知函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e]时,f(x)=ax+lnx.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)是否存在实数a,使得当x∈[-e,0)时,f(x)的最小值是3.如果存在,求出a的值,如果不存在,说明理由.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)是否存在实数a,使得当x∈[-e,0)时,f(x)的最小值是3.如果存在,求出a的值,如果不存在,说明理由.
(1)设x∈[-e,0),则-x∈(0,e],∴f(-x)=-ax+ln(-x),
又f(x)为奇函数,f(x)=-f(-x)=ax-ln(-x)
∴函数f(x)的解析式为f(x)=
ax−ln(−x)
ax+lnx
x∈[−e,0);
x∈(0,e].(4分)
(2)假设存在实数a符合题意,先求导f′(x)=a−
1
x,
①当a≥−
1
e时,由于x∈[-e,0).则f′(x)=a−
1
x≥0.
∴函数f(x)=ax-ln(-x)是[-e,0)上的增函数,
∴f(x)min=f(-e)=-ae-1=3,则a=-
4
e<-
1
e(舍去).(8分)
②当a<-
1
e时,-e≤x≤
1
a⇔f′(x)=a-
1
x<0;
1
a<x<0⇔f′(x)=a-
1
x>0;
则f(x)=ax-ln(-x)在[−e,
1
a]上递减,在[
1
a,0)上递增,
∴f(x)min=f(
1
a)=1−ln(−
1
a)=3,解得a=-e2,
综合(1)(2)可知存在实数a=-e2,使得当x∈[-e,0)时,f(x)有最小值3.(12分)
又f(x)为奇函数,f(x)=-f(-x)=ax-ln(-x)
∴函数f(x)的解析式为f(x)=
ax−ln(−x)
ax+lnx
x∈[−e,0);
x∈(0,e].(4分)
(2)假设存在实数a符合题意,先求导f′(x)=a−
1
x,
①当a≥−
1
e时,由于x∈[-e,0).则f′(x)=a−
1
x≥0.
∴函数f(x)=ax-ln(-x)是[-e,0)上的增函数,
∴f(x)min=f(-e)=-ae-1=3,则a=-
4
e<-
1
e(舍去).(8分)
②当a<-
1
e时,-e≤x≤
1
a⇔f′(x)=a-
1
x<0;
1
a<x<0⇔f′(x)=a-
1
x>0;
则f(x)=ax-ln(-x)在[−e,
1
a]上递减,在[
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a,0)上递增,
∴f(x)min=f(
1
a)=1−ln(−
1
a)=3,解得a=-e2,
综合(1)(2)可知存在实数a=-e2,使得当x∈[-e,0)时,f(x)有最小值3.(12分)
已知函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e]时,f(x)=ax+lnx.
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