（2009•广州二模）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/06/08 19:58:30

（2009•广州二模）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为

（1）证明：法一：如图，连接D₁C，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，
∴A₁D₁∥BC且A₁D₁=BC．
∴四边形A₁BCD₁是平行四边形．
∴A₁B∥D₁C．
∵A₁B⊄平面CDD₁C₁，D₁C⊂平面CDD₁C₁，
∴A₁B∥平面CDD₁C₁．
法二：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，
∴平面A₁AB∥平面CDD₁C₁．
∵A₁B⊂平面A₁AB，A₁B⊄平面CDD₁C₁．
∴A₁B∥平面CDD₁C₁．

（2）设A₁A=h，∵几何体ABCD-A₁C₁D₁的体积为
40
3，
∴VABCD-A₁C₁D₁=VABCD-A₁B₁C₁D₁-VB-A₁B₁C₁=
40
3，
即S_ABCD×h-
1
3×S△A₁B₁C₁×h=
40
3，
即2×2×h-
1
3×
1
2×2×2×h=
40
3，解得h=4．
∴A₁A的长为4．

（3）如图，连接D₁B，设D₁B的中点为O，连OA₁，OC₁，OD．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，∴A₁D₁⊥平面A₁AB．
∵A₁B⊂平面A₁AB，∴A₁D₁⊥A₁B．
∴OA₁=
1
2D₁B．同理OD=OC₁=
1
2D₁B．
∴OA₁=OD=OC₁=OB．
∴经过A₁，C₁，B，D四点的球的球心为点O．
∵D₁B²=A₁D₁²+A₁A²+AB²=2²+4²+2²=24．
∴S_球=4π×（OD₁）²=4π×（
D1B
2）²=π×D₁B²=24π．
故经过A₁，C₁，B，D四点的球的表面积为24π．

（2009•广州二模）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角（2010•卢湾区二模）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2.过A1.C1.B三点的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何（2012•虹口区二模）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=6，用过A1，B，C1三点的平面截去长方体的一在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD,DD1的中点,AB=BC=2,A1A=4,过A1,C1,B三点的长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=BC=4,BB1=3,过A,B1,D1三点的平面将长方体切去一个角,求剩下几何体如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=AA1=a,BC=√2a,M是AD的中点.求证:B1C1‖平面A1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=12,BC=6,AA1=5,分别过BC和A1D1的两个平行平面把长方体分成体如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（在长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=BC=1,AA1=2.E是侧棱BB1中点,求二面角E-AD1-A1平面的大小在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB＝4 BC=3 CC1=2求 D1到直线AC的距离 A1到直线BC的距离 A1