函数的值域和定义域

函数的值域和定义域
值域和定义域

解题思路： 函数性质 总结
解题过程：
定义域、解析式、值域方法总结
（一）定义域：
1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)
2. 求函数的定义域有哪些常见类型？

函数定义域求法：
l 分式中的分母不为零；
l 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
l 指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
l 正切函数
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
3. 如何求复合函数的定义域？

义域是_____________。
复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。
例 若函数的定义域为，则的定义域为 。
分析：由函数的定义域为可知：；所以中有。
解：依题意知：
解之，得
∴　的定义域为
二．函数解析式求法
一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设是一次函数，且，求
解：设 ，则



二、 配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。
例2 已知 ，求 的解析式
解：，

三、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知，求
解：令，则，




四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数的图象关于点对称，求的解析式
解：设为上任一点，且为关于点的对称点
则，解得： ，
点在上

把代入得：

整理得

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5 设求
解 ①
显然将换成，得：
②
解① ②联立的方程组，得：

例6 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式
解 为偶函数，为奇函数，

又 ① ，
用替换得：
即②
解① ②联立的方程组，得
，
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求
解对于任意实数x、y，等式恒成立，
不妨令，则有
再令 得函数解析式为：
七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数 都有，求
解 ，
不妨令，得：，
又 ①
分别令①式中的 得：

将上述各式相加得：，


（二）：函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y=的值域 y=3+√(2－3x) 的值域
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。
求函数y=√(－+x+2)的值域
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域
下面，我把这一类型的详细写出来，希望你能够看懂

4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例 求函数y=值域。
5、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=（2≤x≤10）的值域
求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域
6、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 。以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数值域中同样发挥作用。
例 求函数y=x+的值域。
y=x-3+√2x+1
7 、不等式法
利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例：



多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。