作业帮请用拉格朗日中值定理证明不等式
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 13:43:26
请用拉格朗日中值定理证明不等式
(1).设f(x)=e^x
对任意b不等于0
根据中值定理,存在u,满足u在b与0之间,使得(f(b)-f(0))/(b-0)=f'(u).
显然,f'(u)=e^u>1 -> (f(b)-f(0))/(b-0)>1 -> f(b)>b+1 -> e^b>b+1
(2).第二个不等式可由(1)得出,下面证第一个不等式：
设g(x)=(1+x)*ln(1+x)
对任意b>0
根据中值定理,存在v,满足01
(g(b)-g(0))/(b-0)=(1+b)*ln(1+b)/b>1 -> ln(1+b)>b/(1+b)
对任意b不等于0
根据中值定理,存在u,满足u在b与0之间,使得(f(b)-f(0))/(b-0)=f'(u).
显然,f'(u)=e^u>1 -> (f(b)-f(0))/(b-0)>1 -> f(b)>b+1 -> e^b>b+1
(2).第二个不等式可由(1)得出,下面证第一个不等式：
设g(x)=(1+x)*ln(1+x)
对任意b>0
根据中值定理,存在v,满足01
(g(b)-g(0))/(b-0)=(1+b)*ln(1+b)/b>1 -> ln(1+b)>b/(1+b)