如何用傅里叶变换证明,一个信号既不可能是时间有限信号又是频率有限信号?

如何用傅里叶变换证明,一个信号既不可能是时间有限信号又是频率有限信号?

Fourier series一种特殊的三角级数.法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出.从而极大地推动了偏微分方程理论的发展.在中国,程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数.他首先证明 傅里叶级数多元三角级数球形和的唯一性定理,并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性.傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展.在数学物理以及工程中都具有重要的应用.
给定一个周期为T的函数x(t),那么它可以表示为无穷级数：
mathx(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}/math（j为虚数单位）（1）
其中,matha_k/math可以按下式计算：
傅里叶级数 matha_k=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)\cdot e^{-jk(\frac{2\pi}{T})t}/math（2）
注意到mathf_k(t)=e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}/math是周期为T的函数,故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）.k=0时,（1）式中对应的这一项称为直流分量,mathk=\pm 1/math时具有基波频率math\omega_0=\frac{2\pi}{T}/math,称为一次谐波或基波,类似的有二次谐波,三次谐波等等.
傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛.狄利赫里条件如下：
在任何周期内,x(t)须绝对可积；
傅里叶级数 在任一有限区间中,x(t)只能取有限个最大值或最小值；
在任何有限区间上,x(t)只能有有限个第一类间断点.
吉布斯现象：在x(t)的不可导点上,如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t),那么X(t)在这些点上会有起伏.一个简单的例子是方波信号.
所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0,这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如,在三维欧氏空间中,互相垂直的向量之间是正交的.事实上,正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化.一组n个互相正交的向量必然是线形无关的,所以必然可以张成一个n维空间,也就是说,空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出.三角函数族的正交性用公式表示出来就是：
math\int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\cos (mx) \,dx=0;/math
奇函数mathf_o(x)/math可以表示为正弦级数,而偶函数mathf_e(x)/math则可以表示成余弦级数：
mathf_o(x) = \sum _{-\infty}^{+\infty}b_k \sin(kx);/math
傅里叶级数 mathf_e(x) = \frac{a_0}{2}+\sum _{-\infty}^{+\infty}a_k\cos(kx);/math 只要注意到欧拉公式:mathe^{j\theta}= \sin \theta+j\cos \theta/math,这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出.
傅里叶级数
任何正交函数系math\{ \phi(x)\}/math,如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个第一类间断点,那么如果f(x)满足封闭性方程：
math\int _{a}^{b}f^2(x)\,dx=\sum _{k=1}^{\infty}c^{2}_{k}/math (4),
那么级数math\sum _{k=1}^{\infty} c_k\phi _k(x)/math (5) 必然收敛于f(x),其中:
mathc_n=\int _{a}^{b}f(x)\phi_n(x)\,dx/math (6).
傅里叶级数 事实上,无论（5）时是否收敛,我们总有：
math\int _{a}^{b}f^2(x)\,dx \ge \sum _{k=1}^{\infty}c^{2}_{k}/math成立,这称作贝塞尔(Bessel)不等式.此外,式（6）是很容易由正交性推出的,因为对于任意的单位正交基math\{e_i\}^{N}_{i=1}/math,向量x在mathe_i/math上的投影总为mathx,e_i/math .
math\int _{0}^{2\pi}\sin (mx)\sin (mx) \,dx=0;(m\ne n)/math
math\int _{0}^{2\pi}\cos (mx)\cos (mx) \,dx=0;(m\ne n)/math
math\int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\sin (nx) \,dx=\pi;/math
math\int _{0}^{2\pi}\cos (nx)\cos (nx) \,dx=\pi;/math