作业帮 > 数学 > 作业

怎样用向量方法证明三角形三条角平分线交于一点?

来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 22:41:07
怎样用向量方法证明三角形三条角平分线交于一点?
已知△ABC中,AD,BE,CF分别是∠A,∠B,∠C的平分线.
求证：AD,BE,CF交于一点
证明：设AD与BE交于点P,则要证CF过点P,也就是要证CP平分∠C,用向量知识分析,即要证存在λ,使得向量CP=λ(向量CA/|CA|+向量CB/|CB|)
为简便起见,设|AB|=c,|BC|=a,|CA|=b.
∵AP平分∠A,BP平分∠B
∴存在λ1,λ2,使得
向量AP=λ1(向量AB/c+向量AC/b),向量BP=λ2(向量BA/c+向量BC/a)
∵向量AB+向量BP=向量AP
∴向量AB+λ2(向量BA/c+向量BC/a)=λ1(向量AB/c+向量AC/b)
即:(1-λ2/c)向量AB+λ2/a向量BC=(λ1/c+λ1/b)向量AB+λ1/b向量BC
由平面向量基本定理,有：
1-λ2/c=λ1/c+λ1/b
λ2/a=λ1/b
消λ2,求得λ1=bc/(a+b+c)
于是向量AP=bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b）
∴向量CP=向量CA+向量AP
再问： ∵AP平分∠A, BP平分∠B ∴存在λ1,λ2,使得 向量AP=λ1(向量AB/c+向量AC/b), 向量BP=λ2(向量BA/c+向量BC/a) ………括号里面的是根据什么得到的
怎样用向量方法证明三角形三条角平分线交于一点? 用向量方法证明三角形三条角平分线交于一点 如何用向量证明三角形三条角平分线交于一点 证明三角形三条角平分线交于一点 证明:三角形三条角平分线交于一点 证明三角形内三条角平分线交于一点 如何证明三角形的三条角平分线交于一点 证明任意三角形的三条角平分线交于一点, 证明任意三角形的三条角平分线交于一点 如何证明三角形三条角平分线交于一点 如何证明三角形三条角平分线必交于一点 怎样用向量法证明三角形三条边的三条中线交于一点?