若N阶矩阵满足A和B满足AB=BA,证明(A+B)^m=A^m+mA^m-1B+C(2,m)A^m-2B+...+B^m

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 23:26:59

归纳法：
因为AB=BA,所以A^iB^j=A^jB^i (i,j=0,1,2,3……)
对于m=1,(A+B)^1 = A^1+B^1,原式成立
假设(A+B)^m = A^m+mA^(m-1)B+C(2,m)A^(m-2)B+...+mAB^(m-1)+B^m
则(A+B)^(m+1) = (A+B)(A+B)^m
= (A+B)[A^m+mA^(m-1)B+C(2,m)A^(m-2)B^2+...+mAB^(m-1)+B^m)]
= A^(m+1)+mA^mB+C(2,m)A^(m-1)B^2+…+mA^2B^(m-1)+AB^m
+A^mB +C(1,m)A^(m-1)B^2+C(2,m)A^(m-2)B^3+…+mAB^m+B^(m+1)
= A^(m+1)+(m+1)A^mB+ …+[C(k,m)+C(k+1,m)]A^(m-k)B^(K+1)+…+(m+1)AB^(m)
+B^(m+1)
= A^(m+1)+(m+1)A^mB+ …+C(K+1,m+1)A^(m-k)B^(K+1)+…+(m+1)AB^(m)
+B^(m+1)
得证.
PS:
C(K+1,m+1) = C(k,m)+C(k+1,m)

若N阶矩阵满足A和B满足AB=BA,证明(A+B)^m=A^m+mA^m-1B+C(2,m)A^m-2B+...+B^m A是m*n矩阵,B是n*m矩阵,m>n,证明：|AB|=0 关于逆矩阵的证明题设A和B分别是m*n和n*m矩阵,若AB=E(m),BA=E(n),求证m=n且B=A^(-1) (E 已知向量a,b满足|a|=|b|=1,实数m,n满足m^2+n^2=1.则|ma+nb|的取值范围是如果A是一个m*n矩阵B是一个n*m矩阵,若m>n证明|AB|=0. A为n阶矩阵,B为m阶矩阵,C为m×n矩阵,D为n×m矩阵,其中A和B可逆；证明：|A||D-CA^-1B|=|D||A 若实数a,b,c满足a>b>c,试比较M=a²b+b²c+c²a与N=ab²+b 线代一个问题设A是m*n矩阵,B是n*s矩阵,C,是m*s矩阵,满足AB=C,如果秩r(A)=n,证明秩r(B)=r( 线性代数中,若m*n矩阵A与 n*l 矩阵B 满足A*B=0证明：R（A）+R（B） A是m*n的矩阵,B是n*m的矩阵,证明r(Em-AB)+n=r(En-BA)+m A是m*n矩阵,B是n*m矩阵,证明:R(E-AB)+n=R(E-BA)+m.急救中设A,B 分别是m*n,n*m矩阵,证明：AB和BA有相同的非零特征值.