作业帮求教一道定积分的计算题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 16:55:34
求教一道定积分的计算题
二重积分在极坐标系下的计算,令 x=r cost,y=r sint,-π/4 ≤t≤0,0 ≤ r ≤ - 2a sint
I = ∫[-π/4,0] dt ∫[0,-2a sint] (4a²-r²)^(-1/2) dr
= ∫[-π/4,0] arcsin( - 2a sint / 2a) dt
= ∫[-π/4,0] - t dt
= (-t² /2 ) | [-π/4,0]
= π²/16
再问： 可否请兄将(4a²-r²)^(-1/2) dr 这个被积函数的表达式由来写详细一些
再答： 二重积分换到极坐标系， 面积元素 dS = r drdt 于是被积函数化为 r / [ r * (4a²-r²)^(1/2) ] = (4a²-r²)^(-1/2) 有基本公式： ∫(A²-r²)^(-1/2) dr = arcsin(r /A) + C
再问： 兄，那dy中的y用rsin斯塔代换后，sin斯塔变成cos斯塔，这个cos斯塔哪里去了？
再答： 首先把积分区域用极坐标表示： 令 x= r cosθ, y=r sinθ, 则： -π/4 ≤θ≤0, 0 ≤ r ≤ - 2a sinθ 然后化成二次积分，这个和一元积分的换元是不同的， 利用 dS = dx * dy = r * dr * dθ 。
I = ∫[-π/4,0] dt ∫[0,-2a sint] (4a²-r²)^(-1/2) dr
= ∫[-π/4,0] arcsin( - 2a sint / 2a) dt
= ∫[-π/4,0] - t dt
= (-t² /2 ) | [-π/4,0]
= π²/16
再问： 可否请兄将(4a²-r²)^(-1/2) dr 这个被积函数的表达式由来写详细一些
再答： 二重积分换到极坐标系， 面积元素 dS = r drdt 于是被积函数化为 r / [ r * (4a²-r²)^(1/2) ] = (4a²-r²)^(-1/2) 有基本公式： ∫(A²-r²)^(-1/2) dr = arcsin(r /A) + C
再问： 兄，那dy中的y用rsin斯塔代换后，sin斯塔变成cos斯塔，这个cos斯塔哪里去了？
再答： 首先把积分区域用极坐标表示： 令 x= r cosθ, y=r sinθ, 则： -π/4 ≤θ≤0, 0 ≤ r ≤ - 2a sinθ 然后化成二次积分，这个和一元积分的换元是不同的， 利用 dS = dx * dy = r * dr * dθ 。