作业帮关于二元函数极值存在的充分性证明
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 09:20:55
关于二元函数极值存在的充分性证明
设二元函数f在P0(x0,y0)的某邻域U(P0)内具有二阶连续偏导数,且P0是f的稳定点,
证明：
当Hf(P0)是正定矩阵时,f在P0取得极小值应;当Hf(P0)是负定矩阵时,f在P0取得极大值;当Hf(P0)是不定矩阵时,f在P0不取极值.其中Hf(P0)为黑赛矩阵.
拒绝复制粘贴一大堆公式什么的,我旁边就有数学分析.要求把证明过程讲清楚就好.
设二元函数f在P0(x0,y0)的某邻域U(P0)内具有二阶连续偏导数,且P0是f的稳定点,
证明：
当Hf(P0)是正定矩阵时,f在P0取得极小值应;当Hf(P0)是负定矩阵时,f在P0取得极大值;当Hf(P0)是不定矩阵时,f在P0不取极值.其中Hf(P0)为黑赛矩阵.
拒绝复制粘贴一大堆公式什么的,我旁边就有数学分析.要求把证明过程讲清楚就好.
泰勒展开到第二项： f(p0+v) = f(p0) + grad(f) . v + v' H v /2 + o(|v|^2)
其中grad(f)=(fx, fy)是梯度（行）向量, H是Hessian矩阵
依假设 grad(f)=0,所以只需要考察 v' H v 的性质.
因H对称,存在正交阵P,使得H对角化成 H = P' diag(h1, h2) P
所以f(p0+v) = f(p0) + (Pv)' diag(h1, h2) (Pv) / 2 + o(|v|^2)
若H正定, h1, h2 都是正数,对任意的非0的v, 令w=Pv=(w1,w2)',
w'diag(h1, h2)w = h1*w1^2+h2*w2^2 是正的,就是说,p0周围小邻域内的任意点的函数值
都比f(p0)大.
其它的情况类似讨论就行.
再问： 这个证明的思想就是：根据泰勒公式展开的f(x,y)减去f（x，y）在（x0,y0）点的函数值，在给定的某些条件下（如H正定时）看这个差是大于0还是小于零吗？ 如果是的的话我还想问两个个问题： 1.v是否是f(x,y)在点P0出的某邻域U(P0)内x方向和y方向的该变量？ 2.麻烦再讲讲H对角化的过程（我高等代数学的很差。。。） 多谢了！！！
再答： 就是这个思路。一元微积分也是这个思路。 1. 是。v是P0处的任意一个方向。相当于一元微积分的那个 delta x。 2. 实对称矩阵H对角化是一个标准的代数问题。大致如下： a. H的所有特征值都是实数。 b. H的不同特征值对应的特征向量互相垂直。 由 a, b，可以得到H有n（n=2）个不相关（而且是单位正交的）特征向量(v1,...,vn) 将这n个列向量排成一个矩阵P=(v1,...,vn)，就得到： 这样H P= P diag( h1,...,hn) 因P正交，P的逆就是其转置，所以得到 P' H P = diag( h1,...,hn)
其中grad(f)=(fx, fy)是梯度（行）向量, H是Hessian矩阵
依假设 grad(f)=0,所以只需要考察 v' H v 的性质.
因H对称,存在正交阵P,使得H对角化成 H = P' diag(h1, h2) P
所以f(p0+v) = f(p0) + (Pv)' diag(h1, h2) (Pv) / 2 + o(|v|^2)
若H正定, h1, h2 都是正数,对任意的非0的v, 令w=Pv=(w1,w2)',
w'diag(h1, h2)w = h1*w1^2+h2*w2^2 是正的,就是说,p0周围小邻域内的任意点的函数值
都比f(p0)大.
其它的情况类似讨论就行.
再问： 这个证明的思想就是：根据泰勒公式展开的f(x,y)减去f（x，y）在（x0,y0）点的函数值，在给定的某些条件下（如H正定时）看这个差是大于0还是小于零吗？ 如果是的的话我还想问两个个问题： 1.v是否是f(x,y)在点P0出的某邻域U(P0)内x方向和y方向的该变量？ 2.麻烦再讲讲H对角化的过程（我高等代数学的很差。。。） 多谢了！！！
再答： 就是这个思路。一元微积分也是这个思路。 1. 是。v是P0处的任意一个方向。相当于一元微积分的那个 delta x。 2. 实对称矩阵H对角化是一个标准的代数问题。大致如下： a. H的所有特征值都是实数。 b. H的不同特征值对应的特征向量互相垂直。 由 a, b，可以得到H有n（n=2）个不相关（而且是单位正交的）特征向量(v1,...,vn) 将这n个列向量排成一个矩阵P=(v1,...,vn)，就得到： 这样H P= P diag( h1,...,hn) 因P正交，P的逆就是其转置，所以得到 P' H P = diag( h1,...,hn)