作业帮这个坐标旋转变化公式是怎么推导出来的?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/26 11:08:04
这个坐标旋转变化公式是怎么推导出来的?
x1=cos(angle)*x-sin(angle)*y;y1=cos(angle)*y+sin(angle)*x;其中x,y表示物体相对于旋转点旋转angle的角度之前的坐标,x1,y1表示物体旋转angle后相对于旋转点的坐标
从数学上来说,此公式可以用来计算某个点绕另外一点旋转一定角度后的坐标,例如：A（x,y）绕B（a,b)旋转β度后的位置为C（c,d）,则x,y,a,b,β,c,d有如下关系式：
1.设A点旋转前的角度为δ,则旋转(逆时针)到C点后角度为δ+β
2.求A,B两点的距离：dist1=|AB|=y/sin(δ)=x/cos(δ)3.求C,B两点的距离：dist2=|CB|=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)4.显然dist1=dist2,设dist1=r所以： r=x/cos(δ)=y/sin(δ)=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)5.由三角函数两角和差公式知： sin(δ+β)=sin(δ)cos(β)+cos(δ)sin(β) cos(δ+β)=cos(δ)cos(β)-sin(δ)sin(β) 所以得出： c=r*cos(δ+β)=r*cos(δ)cos(β)-r*sin(δ)sin(β)=xcos(β)-ysin(β) d=r*sin(δ+β)=r*sin(δ)cos(β)+r*cos(δ)sin(β)=ycos(β)+xsin(β)即旋转后的坐标c,d只与旋转前的坐标x,y及旋转的角度β有关 从图中可以很容易理解出A点旋转后的C点总是在圆周上运动,圆周的半径为|AB|,利用这点就可以使物体绕圆周运动,即旋转物体.
从数学上来说,此公式可以用来计算某个点绕另外一点旋转一定角度后的坐标,例如：A（x,y）绕B（a,b)旋转β度后的位置为C（c,d）,则x,y,a,b,β,c,d有如下关系式：
1.设A点旋转前的角度为δ,则旋转(逆时针)到C点后角度为δ+β
2.求A,B两点的距离：dist1=|AB|=y/sin(δ)=x/cos(δ)3.求C,B两点的距离：dist2=|CB|=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)4.显然dist1=dist2,设dist1=r所以： r=x/cos(δ)=y/sin(δ)=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)5.由三角函数两角和差公式知： sin(δ+β)=sin(δ)cos(β)+cos(δ)sin(β) cos(δ+β)=cos(δ)cos(β)-sin(δ)sin(β) 所以得出： c=r*cos(δ+β)=r*cos(δ)cos(β)-r*sin(δ)sin(β)=xcos(β)-ysin(β) d=r*sin(δ+β)=r*sin(δ)cos(β)+r*cos(δ)sin(β)=ycos(β)+xsin(β)即旋转后的坐标c,d只与旋转前的坐标x,y及旋转的角度β有关 从图中可以很容易理解出A点旋转后的C点总是在圆周上运动,圆周的半径为|AB|,利用这点就可以使物体绕圆周运动,即旋转物体.