作业帮有谁知道值遇怎么求...
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/27 10:24:38
有谁知道值遇怎么求...
如-根号里+1的值遇..
如-根号里+1的值遇..
函数值域的求法
一,配方法
形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0) 的函数常用配方法求函数的值域,要注意 f(x) 的取值范围.
例1 (1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域:
二,换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法,把无理函数,指数函数,对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法(关注新元范围).
例2 求下列函数的值域:
(1) y=x- x-1 ;
(2) y=x+ 2-x2 ;
(3) y=sinx+cosx+sinxcosx+1 .
①[-4,-3]; ②[-4,1]; ③[-2,1]; ④[0,1].
[6,11];
[2,11];
[2,6];
[3,6].
3
4
[ ,+∞)
(2)求函数 y=sin2x+4cosx+1 的值域.
[-3,5].
[0,+ 2 ]
3
2
[- 2 ,2]
三,方程法
四,分离常数法
利用已知函数的值域求给定函数的值域.
例3 求下列函数的值域:
2x+1
2x
(1)y= ;
sinx-3
(2)y= ;
sinx+2
(3)y=3+ 2+x + 2-x ;
主要适用于具有分式形式的函数解析式,通过变形,将函数化成 y=a+ 的形式.
b
g(x)
例4 求下列函数的值域:
2x+1
2x
(1)y= ;
sinx-3
(2)y= .
sinx+2
(0,1)
3
2
[- ,- ]
1
4
(0,1)
3
2
[- ,- ]
1
4
(4)若f(x)的值域为[ ,],求 y=f(x)+ 1-2f(x) 的值域.
4
9
3
8
7
8
7
9
[ ,]
[5,3+2 2 ]
五,判别式法
例5 求函数 y = 的值域.
x2+x+1
x2-x
主要适用于形如 y = (a,d不同时为零)的函数(最好是满足分母恒不为零).
ax2+bx+c
dx2+ex+f
六,均值不等式法
(1)y= ;
x2+1
2x
例6 求下列函数的值域:
(2)y= (x>1) .
x-1
x2-2x+5
[-1,1]
[4,+∞)
能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函数的值域.
利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域.要注意满足条件"一正,二定,三等".
[1- ,1+ ]
2 3
3
2 3
3
七,利用函数的单调性
八,数形结合法
主要适用于 (1) y=ax+b+ cx+d (ac>0)形式的函数; (2)利用基本不等式不能求得 y=x+ (k>0)的最值(等号不成立)时.
k
x
例7 求下列函数的值域:
(1)y= 1-2x - x ;
(2)y=x+ (04
x
1
2
[- ,+∞)
[5,+∞)
当函数的解析式明显具备某种几何意义,像两点间的距离公式,直线斜率等时可考虑用数形结合法.
例8 求下列函数的值域:
(1)y=|x-1|+|x+4| ;
sinx-3
(2)y= ;
2+cosx
(3)y= 2x2-6x+9 + 2x2-10x+17 ;
(4) 若 x2+y2=1,求 x+y 的取值范围;
(5) 若 x+y=1,求 x2+y2 的取值范围.
[5,+∞)
1
2
[ ,+∞)
(0,3 ]
(3)y= x+3 - x .
[-2- ,-2+ ]
2 3
3
2 3
3
[2 5 ,+∞)
[- 2 ,2 ]
九,导数法
对于可导函数,可利用导数的性质求出函数的最值,进而求得函数的值域.
例9 求下列函数在给定区间上的值域:
(2)y=x5-5x4+5x3+2,x∈[-1,2].
(1)y=x+ ,x∈[1,4];
4
x
[4,5]
[-9,3]
1.求下列函数的值域:
值域课堂练习题
(1) y= ;
x-2
3x+1
(2) y=2x+4 1-x ;
(3) y=x+ 1-x2 ;
(1)(-∞,3)∪(3,+∞)
(2)(-∞,4]
(4)[3,+∞)
(4) y=|x+1|+ (x-2)2 ;
(3)[-1,2 ]
(5) y= ;
2-cosx
sinx
(6) y= ;
x2+x+1
2x2-x-2
(7) y= ( 0 恒成立.
∴△=64-4mn0.
mx2+8x+n
x2+1
令 y= ,
则 1≤y≤9.
mx2+8x+n
x2+1
问题转化为 x∈R 时,y= 的值域为[1,9].
变形得 (m-y)x2+8x+(n-y)=0,
当 m≠y 时,∵x∈R,∴△=64-4(m-y)(n-y)≥0.
整理得 y2-(m+n)y+mn-16≤0.
依题意
m+n=1+9,
mn-16=1×9,
解得 m=5,n=5.
当 m=y 时,方程即为 8x+n-m=0,这时 m=n=5 满足条件.
故所求 m 与 n 的值均为 5.
一,配方法
形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0) 的函数常用配方法求函数的值域,要注意 f(x) 的取值范围.
例1 (1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域:
二,换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法,把无理函数,指数函数,对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法(关注新元范围).
例2 求下列函数的值域:
(1) y=x- x-1 ;
(2) y=x+ 2-x2 ;
(3) y=sinx+cosx+sinxcosx+1 .
①[-4,-3]; ②[-4,1]; ③[-2,1]; ④[0,1].
[6,11];
[2,11];
[2,6];
[3,6].
3
4
[ ,+∞)
(2)求函数 y=sin2x+4cosx+1 的值域.
[-3,5].
[0,+ 2 ]
3
2
[- 2 ,2]
三,方程法
四,分离常数法
利用已知函数的值域求给定函数的值域.
例3 求下列函数的值域:
2x+1
2x
(1)y= ;
sinx-3
(2)y= ;
sinx+2
(3)y=3+ 2+x + 2-x ;
主要适用于具有分式形式的函数解析式,通过变形,将函数化成 y=a+ 的形式.
b
g(x)
例4 求下列函数的值域:
2x+1
2x
(1)y= ;
sinx-3
(2)y= .
sinx+2
(0,1)
3
2
[- ,- ]
1
4
(0,1)
3
2
[- ,- ]
1
4
(4)若f(x)的值域为[ ,],求 y=f(x)+ 1-2f(x) 的值域.
4
9
3
8
7
8
7
9
[ ,]
[5,3+2 2 ]
五,判别式法
例5 求函数 y = 的值域.
x2+x+1
x2-x
主要适用于形如 y = (a,d不同时为零)的函数(最好是满足分母恒不为零).
ax2+bx+c
dx2+ex+f
六,均值不等式法
(1)y= ;
x2+1
2x
例6 求下列函数的值域:
(2)y= (x>1) .
x-1
x2-2x+5
[-1,1]
[4,+∞)
能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函数的值域.
利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域.要注意满足条件"一正,二定,三等".
[1- ,1+ ]
2 3
3
2 3
3
七,利用函数的单调性
八,数形结合法
主要适用于 (1) y=ax+b+ cx+d (ac>0)形式的函数; (2)利用基本不等式不能求得 y=x+ (k>0)的最值(等号不成立)时.
k
x
例7 求下列函数的值域:
(1)y= 1-2x - x ;
(2)y=x+ (04
x
1
2
[- ,+∞)
[5,+∞)
当函数的解析式明显具备某种几何意义,像两点间的距离公式,直线斜率等时可考虑用数形结合法.
例8 求下列函数的值域:
(1)y=|x-1|+|x+4| ;
sinx-3
(2)y= ;
2+cosx
(3)y= 2x2-6x+9 + 2x2-10x+17 ;
(4) 若 x2+y2=1,求 x+y 的取值范围;
(5) 若 x+y=1,求 x2+y2 的取值范围.
[5,+∞)
1
2
[ ,+∞)
(0,3 ]
(3)y= x+3 - x .
[-2- ,-2+ ]
2 3
3
2 3
3
[2 5 ,+∞)
[- 2 ,2 ]
九,导数法
对于可导函数,可利用导数的性质求出函数的最值,进而求得函数的值域.
例9 求下列函数在给定区间上的值域:
(2)y=x5-5x4+5x3+2,x∈[-1,2].
(1)y=x+ ,x∈[1,4];
4
x
[4,5]
[-9,3]
1.求下列函数的值域:
值域课堂练习题
(1) y= ;
x-2
3x+1
(2) y=2x+4 1-x ;
(3) y=x+ 1-x2 ;
(1)(-∞,3)∪(3,+∞)
(2)(-∞,4]
(4)[3,+∞)
(4) y=|x+1|+ (x-2)2 ;
(3)[-1,2 ]
(5) y= ;
2-cosx
sinx
(6) y= ;
x2+x+1
2x2-x-2
(7) y= ( 0 恒成立.
∴△=64-4mn0.
mx2+8x+n
x2+1
令 y= ,
则 1≤y≤9.
mx2+8x+n
x2+1
问题转化为 x∈R 时,y= 的值域为[1,9].
变形得 (m-y)x2+8x+(n-y)=0,
当 m≠y 时,∵x∈R,∴△=64-4(m-y)(n-y)≥0.
整理得 y2-(m+n)y+mn-16≤0.
依题意
m+n=1+9,
mn-16=1×9,
解得 m=5,n=5.
当 m=y 时,方程即为 8x+n-m=0,这时 m=n=5 满足条件.
故所求 m 与 n 的值均为 5.