如图,梯形OABC中,O为直角坐标系的原点,A、B、C的坐标分别为A（14,0）、B（14,3）、C（4,3）,点P、Q

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 03:03:54

如图,梯形OABC中,O为直角坐标系的原点,A、B、C的坐标分别为A（14,0）、B（14,3）、C（4,3）,点P、Q为两动点,同时从原点出发,分别作匀速运动,其中P点沿OA向终点A运动,速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动,速度为每秒2个单位．且当这两点中有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）写出点Q分别在OC和CB上时的坐标（用含t 的表代数式示）．
（2）是否存在t的值,使得OPQC为等腰梯形?若存在,求出相应的t 值和P、Q两点的坐标；若不存在,请说明理由．
（3）是否存在t的值,使得PQ把梯形OABC的面积分成相等的两部分?若存在,求出相应的t 值和P、Q的坐标；若不存在,请说明理由．

(1)
OA = 14,P需14秒到达A
OC = 5,CB = 10,OC-B长15,Q需15/2秒到达B
B先到达自己的终点
t秒时,Q行程2t
(i) 0 < t ≤ 5/2秒,Q在OC上,OQ = 2t
Q的横坐标:OQcos∠COA = 2t*4/5 = 8t/5
Q的纵坐标:OQsin∠COA = 2t*3/5 = 6t/5
Q(8t/5,6t/5)
(ii) 5/2 < t ≤ 15/2秒,Q在CB上
Q的横坐标 = CQ的横坐标 + 2t - OC = 8t/5 +2t - 5 = 18t/5 - 5
Q的纵坐标 = 3
Q(18t/5 - 5,3)
(2)
t秒时,P行程t,P(t,0)
OPQC为等腰梯形,须OC = PQ = 5
PQ² = 25 = (18t/5 - 5 - t)² + 3²
t = 45/13 > 5/2,满足前提
舍去t = 5/13,此时Q在OC上
P(45/13,0),Q(97/13,3)
(3)
梯形OABC的面积S = (1/2)(CB + OC)*AB = (1/2)(10 + 14)*3 = 36
梯形ABQP的面积 = S/2 = 18 = (1/2)(PA + QB)*AB = (1/2)*3(PA + QB)
PA + QB = 12 = 14 - t + 14 - (18t/5 - 5)
t = 105/23 (5/2 < t < 15/2,满足前提)
P(105/23,0),Q(263/23,3)