已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=-x2+bx+c过点A（4，0）、B（1，3）．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 23:53:02

已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=-x²+bx+c过点A（4，0）、B（1，3）．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P（m，n）在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值．

（1）将A（4，0）、B（1，3）两点坐标代入抛物线的方程得：

-42+4b+c=0
-12+b+c=3，
解之得：b=4，c=0；
所以抛物线的表达式为：y=-x²+4x，
将抛物线的表达式配方得：y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
所以对称轴直线为直线x=2，顶点坐标为（2，4）；
（2）点P（m，n）关于直线x=2的对称点坐标为点E（4-m，n），
则点E关于y轴对称点为点F坐标为（m-4，n），
则FP=OA=4，即FP、OA平行且相等，
所以四边形OAPF是平行四边形；
S=OA•|n|=20，即|n|=5；
因为点P为第四象限的点，
所以n＜0，
所以n=-5；
代入抛物线方程得m=-1（舍去）或m=5，
故m=5，n=-5．