作业帮谁帮我解出这个高数求极限积分的问题?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/26 16:00:00
谁帮我解出这个高数求极限积分的问题?
4 π^4 /15
再问： 哇靠，对啦。解题过程什么样子能，能不能写下来具体过程，拍成图片，传上来。大哥你真厉害！
再答： ∫ x^4 * e^x / (e^x-1)^2 dx = ∫ x^4 d [ -1/(e^x-1)] = - x^4 /(e^x-1) + 4 ∫ x^3 / (e^x -1) dx 分部积分，第一项=0 = 4 ∫ x^3 * e^(-x) / [1- e^(- x )] dx e^(-x)/ [1- e^(- x )] = e^(-x) + e^(-2x) + e^(-3x) + …… + e^(-nx) + …… 级数展开 ∫ x^3 * e^(- nx)dx = (1/n^4) ∫ u^3 * e^(-u) du Gamma 函数 = (1/n^4)* Gamma(4) = 3! / n^4 ∫ x^3 * e^(-x)/ [1- e^(- x )] dx = 3! ∑ 1/n^4 = 3! * π^4 /90 ∑ 1/n^4 = π^4 /90 = π^4 /15 原式= 4π^4 /15
再问： 哇靠，对啦。解题过程什么样子能，能不能写下来具体过程，拍成图片，传上来。大哥你真厉害！
再答： ∫ x^4 * e^x / (e^x-1)^2 dx = ∫ x^4 d [ -1/(e^x-1)] = - x^4 /(e^x-1) + 4 ∫ x^3 / (e^x -1) dx 分部积分，第一项=0 = 4 ∫ x^3 * e^(-x) / [1- e^(- x )] dx e^(-x)/ [1- e^(- x )] = e^(-x) + e^(-2x) + e^(-3x) + …… + e^(-nx) + …… 级数展开 ∫ x^3 * e^(- nx)dx = (1/n^4) ∫ u^3 * e^(-u) du Gamma 函数 = (1/n^4)* Gamma(4) = 3! / n^4 ∫ x^3 * e^(-x)/ [1- e^(- x )] dx = 3! ∑ 1/n^4 = 3! * π^4 /90 ∑ 1/n^4 = π^4 /90 = π^4 /15 原式= 4π^4 /15