（线性代数追问）同维同个数向量组A,b等价能否推出其组成矩阵(m*n)列等价?

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 21:30:18

（线性代数追问）同维同个数向量组A,b等价能否推出其组成矩阵(m*n)列等价?
问题是这样的：m维列向量组a1,a2……an,与m维列向量组b1,b2……bn等价,前一组组成矩阵A=(a1,a2……an),后一组组成矩阵B=(a1,a2……an),是否能推出矩阵A列等价于矩阵B?
我现在的问题是已知m维列向量组a1,a2……an,与m维列向量组b1,b2……bn等价,也就是ai(i=1,2……n)能用b1,b2……bn线性表示,bj(j=1,2……n)能用a1,a2……an线性表示,想证明：存在可逆矩阵Q,使得(b1,b2……bn)=(a1,a2……an)*Q.注意这里Q只要存在就行,比如@ldydc举例说a1T=(1,0,0),b1T=(3,0,0),b2T=(4,0,0),的确,存在不可逆阵M=(第一行3,4；第二行0,0)使得(b1,b2)=(a1,a2)*M,但同时也存在可以矩阵Q=(第一行1/3,0；第二行0,1/2)使得(b1,b2)=(a1,a2)*Q,成立,因此不能推翻原命题.（原命题即：m维列向量组a1,a2……an,与m维列向量组b1,b2……bn等价,前一组组成矩阵A=(a1,a2……an),后一组组成矩阵B=(a1,a2……an),则矩阵A列等价于矩阵B）
PS：之前感谢@ldydc 对前一问题作出的深入分析,在下受益匪浅.

向量组I与II等价,即可以互相表出,则A,B在同一线性空间内；
可以把I,II都当作线性空间的一组基（前提是I,II自身线性无关,如果自身线性相关可以取极大无关组,思路是一样的）
列向量组I写成矩阵A,组II写成B
则有过渡矩阵T使
B=AT
由T的可逆性
A=BT^(-1)
知
矩阵A与B等价
那个网友指出的矩阵不是过渡矩阵而已
再问：谢谢您的回答，但是我不太了解过度矩阵的说。因为同济给出的过渡矩阵是R^n的向量空间的过渡矩阵，而这边因为是任意可能出现的m维列向量组a1,a2……an，与m维列向量组b1,b2……bn。所以当每个向量的维数大于，或者小于n的时候是否有过渡矩阵我不是很清楚。。。。
再答：如果个数大于维数
只要取其中的极大线性无关组就可以了
线性变换的时候

多余出来的向量可以令其系数为0
如果是维数大于个数
只要是等价的（极无关组的向量个数相同，又都是m维）
那一定可以扩充为一个m维线性空间的基
然后再做变换（过渡）

（线性代数追问）同维同个数向量组A,b等价能否推出其组成矩阵(m*n)列等价? （线性代数）同维同个数向量组A,b等价能否推出其组成矩阵(m*n)列等价? 线性代数非齐次方程组同解推出增广矩阵行向量组等价线性代数等价问题两个向量组向量个数相同且等价,能推知两个矩阵等价,那反过来,如果两个矩阵等价,能不能推出两个向量组等价( 有没有m行n列的矩阵A与m行l列的矩阵B的列向量组等价,则有方程Ax=0与Bx=0同解这一说法? 怎么证A是m•n矩阵,b是m维列向量,非齐次方程组总有解与A的列向量组和单位向量等价您好设A,B都是m×n矩阵,线性方程组AX=0与BX=0同解,则A与B的行向量组等价 AB是m*n 矩阵 ,a 与b的列向量组等价则他们的行向量组也等价若矩阵A,B分别为m行n列,k行n列矩阵,且已知他们行向量等价,那么怎么证明AX=0与BX=0同解啊? 设m乘n矩阵A经初等变换化成矩阵B,试举例说明A的列向量组与B的列向量组未必等价矩阵等价与向量组等价A,B是n阶方阵,P,Q是n阶可逆矩阵. 若B=PAQ,那么A的行（列）向量组和B的行（列）向量组等刘老师,A的行向量组与B的行向量组等价,则矩阵A和B等价,不是还得要求同型么