作业帮证明如下等式 题目给的方法提示 1 欧拉公式 2 二项式定理 希望有人能用这两个提示证出来
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/26 15:26:15
证明如下等式 题目给的方法提示 1 欧拉公式 2 二项式定理 希望有人能用这两个提示证出来
Euler公式即e^(ix) = cos(x)+isin(x).
于是e^(-ix) = cos(x)-isin(x).
相减得2isin(x) = e^(ix)-e^(-ix).
2n次方得(2i)^(2n)·(sin(x))^(2n) = (e^(ix)-e^(-ix))^(2n).
右端由二项式定理展开为:
∑{0 ≤ k ≤ 2n} C(2n,k)·e^(ikx)·(-1)^(2n-k)·e^(-i(2n-k)x)
= ∑{0 ≤ k ≤ 2n} C(2n,k)·e^(2i(k-n)x)·(-1)^k.
即(2i)^(2n)·(sin(x))^(2n) = ∑{0 ≤ k ≤ 2n} C(2n,k)·e^(2i(k-n)x)·(-1)^k ①.
然而,当m为非零整数时,∫{0,2π} e^(imx)dx = ∫{0,2π} cos(mx)+isin(mx)dx = 0.
m = 0时∫{0,2π} e^(imx)dx = 2π.
因此①式右端积分 = ∫{0,2π} ∑{0 ≤ k ≤ 2n} C(2n,k)·e^(2i(k-n)x)·(-1)^k dx
= 2π·C(2n,n)·(-1)^n (形如e^(imx),m非零的项积分为0).
而①式左端积分 = (2i)^(2n)·∫{0,2π} (sin(x))^(2n)dx = (-4)^n·∫{0,2π} (sin(x))^(2n)dx.
故∫{0,2π} (sin(x))^(2n)dx = 2π·C(2n,n)/4^n.
于是e^(-ix) = cos(x)-isin(x).
相减得2isin(x) = e^(ix)-e^(-ix).
2n次方得(2i)^(2n)·(sin(x))^(2n) = (e^(ix)-e^(-ix))^(2n).
右端由二项式定理展开为:
∑{0 ≤ k ≤ 2n} C(2n,k)·e^(ikx)·(-1)^(2n-k)·e^(-i(2n-k)x)
= ∑{0 ≤ k ≤ 2n} C(2n,k)·e^(2i(k-n)x)·(-1)^k.
即(2i)^(2n)·(sin(x))^(2n) = ∑{0 ≤ k ≤ 2n} C(2n,k)·e^(2i(k-n)x)·(-1)^k ①.
然而,当m为非零整数时,∫{0,2π} e^(imx)dx = ∫{0,2π} cos(mx)+isin(mx)dx = 0.
m = 0时∫{0,2π} e^(imx)dx = 2π.
因此①式右端积分 = ∫{0,2π} ∑{0 ≤ k ≤ 2n} C(2n,k)·e^(2i(k-n)x)·(-1)^k dx
= 2π·C(2n,n)·(-1)^n (形如e^(imx),m非零的项积分为0).
而①式左端积分 = (2i)^(2n)·∫{0,2π} (sin(x))^(2n)dx = (-4)^n·∫{0,2π} (sin(x))^(2n)dx.
故∫{0,2π} (sin(x))^(2n)dx = 2π·C(2n,n)/4^n.