在平面直角坐标系中,已知抛物线y==-1/2x^2+bx+c(b、c为常数)的顶点为P,等腰直角三

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 05:40:05

在平面直角坐标系中,已知抛物线y==-1/2x^2+bx+c(b、c为常数)的顶点为P,等腰直角三
角形ABC的顶点A的坐标为（0,-1）,C的坐标为（4,3）,直角顶点B在第四象限.

（1）如图,若该抛物线过A、B两点,求抛物线的函数表达式.

（2）平移（1）中的抛物线,使顶点P在直线AC上滑动,且与AC交与另一点Q.

ⅰ）若点M在直线AC下方,且为平移前（1）中的抛物线上的点,当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点M的坐标；

ⅱ）取BC的中点N,连接NP、BQ.试探究PQ/(NP+BQ）是否存在最大值?若存在,求出该最大值；若不存在,请说明理由.

【解析】（1）先求出点B的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）i）首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度,作为后续计算的基础．
若△MPQ为等腰直角三角形,则可分为以下两种情况：
①当PQ为直角边时；②当PQ为斜边时
ii）由（i）可知,PQ为定值,因此当NP+BQ取最小值时,满足要求.
解题见附件