作业帮急需解答的高中数学题,谢谢了
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/07 22:07:13
急需解答的高中数学题,谢谢了
关于x的方程(x^2-1)^2-｜x^2-1｜+k=0,怎么证明存在实数k,可令方程有各种不同的个数的不同的实根?比如这几个命题"存在实数k,使得方程恰有2个不同的实数根"；“存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根”；“存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根”；“存在实数k,使得方程恰有8个实根”.能给我详细说明一下怎么证明以上的命题是否成立吗?
可能有点麻烦,感激不尽了.
关于x的方程(x^2-1)^2-｜x^2-1｜+k=0,怎么证明存在实数k,可令方程有各种不同的个数的不同的实根?比如这几个命题"存在实数k,使得方程恰有2个不同的实数根"；“存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根”；“存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根”；“存在实数k,使得方程恰有8个实根”.能给我详细说明一下怎么证明以上的命题是否成立吗?
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令α=x^2-1,β=｜α｜则β≥0（PS:这一部是解决这类有绝对值的方程高次方程常用的步骤,可以使问题简化变得更直观）
方程可变为：β^2-β+k=0…①,根的判别式Δ=1-4k
1^Δ=1-4k＞0时,①中β有两个不同实根,
设①的两根β1,β2满足β1＜β2
当0＜β1＜β2时,β1=（1-√Δ)/2＞0,k∈(0,1/4],此时α可以有4中不同取值±β1,±β2,从而x可以有8个取值,即方程有8个实根；
当β1=（1-√Δ)/2=0时,k=0,此时α有3种不同取值0,±β2,从而x这时最多可以有5个不同取值,即方程有5个实根；
2^Δ=1-4k=0时,β1=β2,此时α最多可有两种不同取值±β1,从而x这时最多可取4个不同值,即方程有4个实根；
特殊地当β1=β2=0,Δ=1-4k=0,k=1/4,此时α=0,x=±,即方程恰有2个实根；
3^Δ=1-4k＜0时,①无实根.
方程可变为：β^2-β+k=0…①,根的判别式Δ=1-4k
1^Δ=1-4k＞0时,①中β有两个不同实根,
设①的两根β1,β2满足β1＜β2
当0＜β1＜β2时,β1=（1-√Δ)/2＞0,k∈(0,1/4],此时α可以有4中不同取值±β1,±β2,从而x可以有8个取值,即方程有8个实根；
当β1=（1-√Δ)/2=0时,k=0,此时α有3种不同取值0,±β2,从而x这时最多可以有5个不同取值,即方程有5个实根；
2^Δ=1-4k=0时,β1=β2,此时α最多可有两种不同取值±β1,从而x这时最多可取4个不同值,即方程有4个实根；
特殊地当β1=β2=0,Δ=1-4k=0,k=1/4,此时α=0,x=±,即方程恰有2个实根；
3^Δ=1-4k＜0时,①无实根.