作业帮求一道线性代数题目的解答
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/06 05:28:05
求一道线性代数题目的解答
已知二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+(a+4)x2^2+3x3^2+4x1x2-4x2x3经正交变换x=Qy化为标准型by1^2+5y2^2-y3^2求a,b及所用的正交变换.
已知二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+(a+4)x2^2+3x3^2+4x1x2-4x2x3经正交变换x=Qy化为标准型by1^2+5y2^2-y3^2求a,b及所用的正交变换.
先将对应的二次型的矩阵写出来,分别是A=[1,2,0;2,a+4,-2,0,-2,3]和B=[b,0,0;0,5,0;0,0,-1],由于是经过正交变换得到的标准型,表明上述两个矩阵相似(求a,b值的思路就是利用相似的性质).
1.两矩阵对角线上元素的和相等(相似的性质,这些东西是必须记住的),这样就得到a+4=b----(1).
2.同时两矩阵的行列式值相等,即detA=detB,这样得到3a-4=-5b-------(2).
联立(1)、(2)式解得a=-2,b=2.
3.至于求解所用的正交变换,得到b的值后就得到了矩阵的特征值分别为2,5,-1,然后根据
(λE-A)ξ=0,求得相应的特征向量ξ1,ξ2,ξ3,由于这3个向量属于不同的特征值故已经正交,下面只需将其单位化即可,则所求的正交变换为矩阵[ξ1/||ξ1||,ξ2/||ξ2||,ξ3/||ξ3||].其中||ξ||表示ξ的模.
大致思路就是这样,计算错误本人一概不负责任 >_< .XD
1.两矩阵对角线上元素的和相等(相似的性质,这些东西是必须记住的),这样就得到a+4=b----(1).
2.同时两矩阵的行列式值相等,即detA=detB,这样得到3a-4=-5b-------(2).
联立(1)、(2)式解得a=-2,b=2.
3.至于求解所用的正交变换,得到b的值后就得到了矩阵的特征值分别为2,5,-1,然后根据
(λE-A)ξ=0,求得相应的特征向量ξ1,ξ2,ξ3,由于这3个向量属于不同的特征值故已经正交,下面只需将其单位化即可,则所求的正交变换为矩阵[ξ1/||ξ1||,ξ2/||ξ2||,ξ3/||ξ3||].其中||ξ||表示ξ的模.
大致思路就是这样,计算错误本人一概不负责任 >_< .XD