已知函数f(x)=x*lnx. (1)求f(x)的最小值. (2)若对所有x>=1,都有f(x)>=ax-1,求实数a的
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/21 08:10:38
已知函数f(x)=x*lnx. (1)求f(x)的最小值. (2)若对所有x>=1,都有f(x)>=ax-1,求实数a的取值范围.
(1)(通过讨论函数的单调性来求最值)求导数得f'(x)=lnx+1,
由f'(x)≥0,即lnx+1≥0解得x≥1/e,
则原函数的单调增区间为[1/e,+∞),减区间为(0,1/e](注意定义域x>0),
函数有(0,+∞)上先减后增,故在x=1/e处取得最小值,所以f(x)的最小值为f(1/e)=-1/e.
(2)因为f(x)>=ax-1,所以xlnx≥ax-1,移项得xlnx+1≥ax,
又x≥1,两边都除以x得lnx+1/x≥a,即a≤lnx+1/x,
要使该式在x≥1上恒成立,只需a小于等于lnx+1/x的最小值即可,
为此,下面来求lnx+1/x的最小值.为讨论方便,设g(x)=lnx+1/x,
则g′(x)=1/x-1/x²,显然当x≥1时,g′(x)=1/x-1/x²≥0恒成立,
即说明函数g(x)=lnx+1/x在x≥1上是增函数,
所以其最小值为g(1)=1,所以a≤1.
由f'(x)≥0,即lnx+1≥0解得x≥1/e,
则原函数的单调增区间为[1/e,+∞),减区间为(0,1/e](注意定义域x>0),
函数有(0,+∞)上先减后增,故在x=1/e处取得最小值,所以f(x)的最小值为f(1/e)=-1/e.
(2)因为f(x)>=ax-1,所以xlnx≥ax-1,移项得xlnx+1≥ax,
又x≥1,两边都除以x得lnx+1/x≥a,即a≤lnx+1/x,
要使该式在x≥1上恒成立,只需a小于等于lnx+1/x的最小值即可,
为此,下面来求lnx+1/x的最小值.为讨论方便,设g(x)=lnx+1/x,
则g′(x)=1/x-1/x²,显然当x≥1时,g′(x)=1/x-1/x²≥0恒成立,
即说明函数g(x)=lnx+1/x在x≥1上是增函数,
所以其最小值为g(1)=1,所以a≤1.
已知函数f(x)=x*lnx. (1)求f(x)的最小值. (2)若对所有x>=1,都有f(x)>=ax-1,求实数a的
已知函数F(x)=xlnx.(1).求F(x)的最小值 (2).若对所有X≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=xlnx 1.求f(x)最小值 2.若对所有x=1都有f(x)≥ax-1求实数a的取值范围
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已知函数f(x)=xlnx求f(x)的最小值 若对所有x>=1都有f(x)>=ax-1,求实数的取值范围i
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已知函数f(x)=x^2+ax-lnx,a€R.若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围
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已知函数f(x)=x*x+ax+b对于任意实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立,求实数a的值
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函数f(x)=xx+ax+b,且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x),求实数a的值