初三的三道二次函数题目

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 14:03:56

初三的三道二次函数题目
已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A(-1,-18),B(1,a)且对称轴为直线x=2
(1) 求这个函数的解析式.
(2) 何时y随x的增大而增大?何时y随x的增大而减小?
(3) 求函数的最大值或最小值和此时自变量的值.
已知抛物线y=x2+2x+m-1
(1) 若抛物线与x轴只有一个交点,求m的值.
(2) 若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点,求m的值.
将抛物线y=x2向上平移后,使它的顶点C和它在x轴上的两个交点A,B组成等边三角形ABC,求此时抛物线的解析式.

解
一、
y=ax²+bx+c的对称轴为x= - b/2a, 而已知对称轴为直线x=2,
∴ −b/2a = 2,
∵a ≠ 0 ,
∴b = −4a   ①
又图像经过A(-1,-18), B(1,a),
∴ -18=a+4a+c ⇒ 5a+c=-18         ②,  及  a=a-4a+c ⇒ c=4a              ③,
③代入②,    9a = -18      ⇒a= -2    ④,
④代入 ③,     c= -8    ⑤
④代入①,     b=8   ⑥,
④、⑥、⑤代入y,y= -2x²+8x-8 ,
∴  -2x²+8x-8是这个函数的解析式;
(2)由(1)求得  y= -2x²+8x-8 ,由a= -2<0知其开口朝下,已知x=2为其对称轴,

∴在x属于(-∞,2]时, y随x的增大而增大, 而在x属于[2,∞)时, y随x的增大而减小;
(3) 由a=-2<0知函数y只有最大值, y的顶点式为 y= -2(x-2)²
       ∴函数的最大值为0, 此时自变量的值为x=2 .
二、
⑴ 若抛物线y=x²+2x+m-1与x轴只有一个交点,那么x²+2x+m-1=0只有一个解,此时,
  △=2²-4(m-1)=0  ⇒ 4-4m+4=0 ⇒ -4m+8=0,
              ∴m=2  ；
(2)  若抛物线y=x²+2x+m-1与直线y=x+2m只有一个交点, 那么
   x²+2x+m-1=x+2m  x²+ x-m-1=0
只有一个解,由于
      △=1-4(-m-1)=5+4m=0,
      ∴m= -5/4  ；
三、抛物线y=x² 与x轴只有一个交点(0, 0), 向上平移与x轴无交点,若向下平移距离c(c>0), 则此时抛物线与Y轴的交点为C (−c, 0), 解析式为
                          y=x² -c ,
令y=x² -c=0, 则得如图所示的两个交点A(-√c  ,   0 )、B（√c, 0),由于题设△ABC为等边三角形,
           ∴tan⅙ π =√c/c ⇒√c/c= √3/3 ⇒1/c=1/3,
           ∴ c=3,
           ∴ 此时抛物线的解析式: y=x² -3.

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