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已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a的x次方(a大于0,且a不等于1),求证

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/02 00:18:25
已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a的x次方(a大于0,且a不等于1),求证
f(2x)=2f(x)乘以g(x)
答:
因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,f(-x)=-f(x);g(x)是偶函数,g(-x)=g(x).
所以f(0)+g(0)=a^0即g(0)=1
f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=a^(-x)
即:g(x)=[a^x+a^(-x)]/2,f(x)=[a^x-a^(-x)]/2
所以f(2x)=[a^2x-a^(-2x)]/2
=[a^x+a^(-x)]/2*[a^x-a^(-x)]/2*2
=2f(x)g(x)